Introducing weighted-variance risk-measures in the class of Brock-Hommes asset pricing models

The thesis is positioned in the context of deterministic asset models called "heterogeneous adaptive models", based on the idea that investors act in the market using different strategies. A strategy is a prediction on the next excess of return of a risky asset with respect to the risk-free rate. This prediction, which takes into account the last known price, is the criterion used by traders to decide whether buy or sell the asset. Starting from a model in which investors risk-measure is given by the historical variance of the asset price, we replace it with an estimation of the variance of the prediction error of the excess of return, conditioned to the last known price. This is the true risk factor to care about, since it is what traders use to formulate their demands. If traders take a long position on the risky asset, predicting a positive excess of return, they dread having overestimated the excess of return. This may cause a loss with respect to the expected profit, while an error of underestimation generate an extra-profit. Vice-versa if they are short on the asset. This is why, in a second model, we distinguish the estimators of the variance of the prediction error, considering differently those errors that generates a loss from the ones that give an extra-profit. For all the considered models, we proved the existence of a unique equilibrium price at the fundamental value, the one at which traders are indifferent among investing in the risky asset or the risk-free one. We studied which conditions ensure fundamental's stability and verified numerically its global stability: the market always converges to it, when it is stable. We compared models with variance of the prediction error with the original historical-variance one studying the non-stationary prices fluctuations, concluding that the latter exhibits smaller amplitude of the price fluctuations since it underestimates market volatility, compared to models that better measure the investment risk. Finally, models with estimate of the excess of return exhibits also chaotic dynamics and multiplicity of attractors around the fundamental, that better explain the creation of financial bubbles.

La tesi si colloca nel contesto dei modelli deterministici di asset pricing chiamati “heterogeneous adaptive models”, basati sull’idea che gli investitori si muovono sul mercato seguendo diverse strategie. Una strategia è una previsione sull’eccesso di ritorno dell’asset rischioso rispetto a quello senza rischio, che tiene conto dell’ultimo prezzo noto di mercato. È il criterio usato dagli investitori per decidere se comprare o vendere l’asset rischioso. A partire da un modello con varianza storica dei prezzi dell’asset rischioso come misura di rischio degli investitori, sostituiamo quest’ultima con una stima della varianza dell’errore di predizione dell’eccesso di ritorno, condizionata all’ultimo prezzo noto. Questo è infatti il vero fattore di rischio da considerare: è su questo che si basa la domanda degli investitori. Se si va lunghi sull’asset rischioso, prevedendo un eccesso di ritorno positivo, ciò che si teme realmente è di aver sovrastimato tale eccesso di ritorno e di avere una perdita rispetto al guadagno atteso. Se invece l’errore è una sottostima, si avrà un guadagno superiore a quello atteso. Viceversa se si va corti. Per questo, in un secondo modello, introduciamo degli stimatori che pesano diversamente gli errori che causano una perdita da quelli che causano un guadagno extra. Confrontando questi modelli con quello a varianza storica, abbiamo dimostrato per tutti l’esistenza di un unico prezzo di equilibrio al valore fondamentale, cioè il prezzo per cui gli investitori sono indifferenti tra l’investimento sull’asset rischioso o quello senza rischio. Abbiamo verificato numericamente la globale stabilità: in condizioni per cui l’equilibrio è stabile, il mercato converge sempre ad esso. Studiando le fluttuazioni di prezzo non stazionarie, si può concludere che il modello a varianza storica tende a sottostimare la volatilità del mercato, esibendo ampiezze delle oscillazioni molto minori rispetto ai modelli con varianza dell’errore di predizione. Inoltre questi ultimi presentano dinamiche caotiche e supportano meglio la replicazione di bolle speculative, con la presenza di molteplici attrattori non stazionari nella regione del fondamentale.