Fine estimates on the matching problem via PDE techniques

In this thesis, besides a review of the optimal transport theory, I study an application of this theory to a particular instance of the matching problem [AKT84], following the work of [AST16; Gla18; AG18]. The main issue of the matching problem is the study of the behavior of the expected Wasserstein distance between empirical measures canonically built with i.i.d. random variables and their common law. In particular, the setting I present is the one of a two- dimensional Riemannian Manifold and I explain how it is possible to prove a precise decay rate of this expected distance. The main idea is to regularize the concentrated measures by action of the heat semigroup on measures and then to carefully estimate the distance between these smoothed version of the measures. One should proceed carefully in order to exploit the smoothness of the new measures without making them too "far" from the original ones. In order to do so, both deterministic estimates on the heat kernel and probabilistic techniques are used. Moreover, a proof of a refined contractivity of the heat flow, which involves optimal transport techniques and that may be of its own interest, is presented.

In questa tesi, oltre a rivedere in generale la teoria del trasporto ottimo, si studia l’applicazione di questa ad una particolare istanza del problema del matching [AKT84], seguendo il lavoro di [AST16; Gla18; AG18]. L’idea principale del problema del matching è lo studio del comportamento del valore atteso della distanza di Wasserstein tra misure empiriche costruite in maniera canonica con variabili aleatorie i.i.d. e la loro legge comune. Nello specifico, l’ambientazione che presento è quella di una varietà Riemanniana due-dimensionale e spiego come sia possibile dimostrare un preciso tasso di decadimento di questo valore atteso della distanza. L’idea principale è quella di regolarizzare le misure concentrate per mezzo dell’azione del semigruppo del calore sulle misure e poi stimare con attenzione la distanza tra queste versioni regolarizzate delle misure. Il punto cruciale è che è necessario procedere con attenzione in maniera da sfruttare la regolarità delle nuove misure senza renderle troppo "distanti" da quelle originali. Per fare questo, si usano sia stime deterministiche sul nucleo del calore che tecniche probabilistiche. Inoltre, si riporta una dimostrazione di una contrattività rifinita del flusso del calore, un risultato che è di per sé interessante e la cui dimostrazione coinvolge tecniche legate al trasporto ottimo.