Kolmogorov equations on spaces of measures associated to stochastic filtering processes

In this thesis work, we introduce a family of Kolmogorov partial differential equations on a space of probability measures obtained in the stochastic filtering framework. The main idea is to apply the recent theories on spaces of probability measures developed for optimal transport and mean field games to stochastic filtering, which has not been studied accurately with these techniques so far. During the last decades, stochastic filtering problem has been intensively studied due to its importance in the signal processing field. The general idea is to find the best estimate for the law of a signal, modelled as a stochastic process, from an incomplete and potentially noisy set of observations of that process. The estimation of the law is a measure-valued stochastic process called filter and, under certain conditions, it is the unique Markovian solution to a stochastic differential equation called Kushner-Stratonovich equation. This allows us to study the Kolmogorov equations associated to such stochastic differential equation, that are partial differential equations with the space of probability measures as spatial domain. In the literature, many studies have been done in this direction, but all of them under the hypothesis that the filter admits a density. In this work we formulate, for the first time, the backward Kolmogorov equation associated to a finite horizon stochastic filtering problem, without assuming the existence of a density. In order to do that, we rely strongly on the recent developments regarding the spaces of probability measures. Indeed, thanks to optimal transport theory and mean field games theory, many results have been obtained to deal with these spaces and differential problems on them. In order to write down the Kolmogorov equation, we prove a generalization of an Itô formula that has been developed for mean field games. In the end, we prove a uniqueness result for the solution of the Kolmogorov equation, assuming that at least one classical solutions exists.

In questo lavoro di tesi, si introduce una famiglia di equazioni di Kolmogorov su uno spazio di misure di probabilità, ottenute nel contesto del filtraggio stocastico. L'idea è quella di applicare le recenti teorie sugli spazi di misure di probabilità, sviluppate per il traporto ottimo e per i mean field games, al filtraggio stocastico. Infatti, questo ambito non è ancora stato studiato approfonditamente con queste nuove tecniche. Negli ultimi decenni, i problemi di filtraggio stocastico sono stati molto studiati per via della loro importanza nella teoria dei segnali. Lo scopo principale del filtraggio stocastico è trovare la miglior stima per la legge di un segnale, descritto da un processo stocastico, conoscendone solamente delle osservazioni, che possono essere incomplete o disturbate. La stima della legge, detta filtro, è un processo stocastico a valori nello spazio delle misure di probabilità e, sotto opportune ipotesi, è l'unica soluzione Markoviana di un'equazione differenziale stocastica, detta equazione di Kushner-Stratonovich. Si possono quindi studiare le equazioni di Kolmogorov associate a questa equazione differenziale stocastica, che saranno equazioni differenziali alle derivate parziali e avranno lo spazio delle misure di probabilità come dominio spaziale. In letteratura sono presenti molti studi riguardanti questo argomento, ma tutti assumono l'esistenza di una densità per il processo di filtraggio. In questo lavoro si formula, per la prima volta, l'equazione di Kolmogorov backward associata a un problema di filtraggio a orizzonte finito, senza assumere l'esistenza di densità. Per farlo, si fa riferimento ai recenti sviluppi sulla teoria degli gli spazi di misure di probabilità. In particolare, grazie alla teoria del trasporto ottimo e alla teoria dei mean field games, sono state sviluppate diverse tecniche per affrontare problemi differenziali su questi spazi. Per scrivere l'equazione di Kolmogorov, si dimostra una generalizzazione di una formula di Itô che è stata sviluppata originariamente per i mean field games. Infine, si dimostra un risultato di unicità per l'equazione di Kolmogorov, assumendo l'esistenza di almeno una soluzione classica.