A birth-death stochastic model of evolution

We study a stochastic model of evolution for species. We start from the basic GMS model, where at each time step either a single species is created and endowed with a fitness uniformly chosen in [0,1], or a species is removed, killing the one with smaller fitness; then we extend it first by considering a generic fitness law (IID birth-death case), next we add further dependencies in the birth-death mechanism (Markov birth-death case). From empirical arguments and assisted by computer simulations, we come up with the idea to consider a suitable random walk and the associated queueing process, then assess their trend in order to understand the dynamic of the system and its asymptotic behaviour, with respect to the surviving species in the long run. Then we step up further and at the end we set up a model that embed all previous works in this field, in which we group together creations and deletions, adopting a very general birth-death mechanism (where we maintain the kill the least fit policy and creations and removals may also be correlated at a fixed time), independent of the arbitrary law assigning the fitness values (possibly dependent among each other but with a common marginal mu). We show that a cut-off phenomenon arises in the limit behaviour of the system, so we can find a critical fitness f_c (by means of the so-called critical ratio R_c) above which species survive and their number diverge and below which species go extinct and their number hits 0 i.o.; in addition, under appropriate hypothesis, we prove convergence for the fitness law of surviving species, specifically we have uniform a.s. convergence for the related c.d.f.. Furthermore, we notice a new phenomenon (barrier effect of an atom of mu, if this happen to be the critical fitness) which cannot be observed in older works by using the simple uniform law. Finally, we slightly change the killing strategy and we develop a conjecture about the limit distribution of surviving species in this new situation, strongly supported by a lot of simulations.

In questo lavoro viene studiato un modello stocastico di evoluzione delle specie. Prendiamo come riferimento di base il modello GMS, in cui in ogni istante temporale o una singola specie viene creata e munita di una fitness scelta uniformemente in [0,1], oppure una specie viene rimossa, uccidendo quella con la fitness minore; quindi abbiamo esteso il modello da prima considerando una generica legge per le fitness (caso nascita-morte IID), poi abbiamo aggiunto ulteriori dipendenze nel meccanismo di nascita-morte (caso nascita-morte Markov). Da ragionamenti empirici e assistiti dalle simulazioni fatte al computer, abbiamo avuto l'idea di considerare un'opportuna passeggiata aleatoria e il processo di coda associato, così da valutare il loro andamento per poter capire la dinamica del sistema e il suo comportamento asintotico, considerando le specie che sopravvivono nel lungo termine. Dopo aver fatto ulteriori passi avanti, alla fine abbiamo impostato un modello che ingloba tutti i lavori precedenti in questo campo, in cui abbiamo raggruppato insieme creazioni ed eliminazioni, adottando un meccanismo di nascita-morte molto generale (in cui manteniamo la regola di uccidere chi ha la fitness più bassa e inoltre creazioni e rimozioni di specie possono anche essere correlate fra loro ad istante temporale fissato), e indipendente dalla legge arbitraria che assegna i valori delle fitness (che eventualmente possono essere dipendenti fra loro, ma aventi una comune legge marginale mu). Mostriamo che nel comportamento limite del sistema si manifesta un fenomeno di taglio, quindi possiamo trovare una fitness critica f_c (per mezzo del cosiddetto rapporto critico R_c) sopra la quale le specie sopravvivono e il loro numero diverge e sotto la quale le specie si estinguono e il loro numero si annulla infinitamente spesso; in aggiunta, sotto ipotesi appropriate, dimostriamo un risultato di convergenza per la legge delle fitness delle specie sopravvissute, in modo specifico abbiamo convergenza uniforme q.c. della relativa f.d.r.. Per di più, ci accorgiamo della presenza di un nuovo fenomeno (effetto barriera di un atomo di mu, se succede che questo sia la fitness critica) il quale non poteva venire osservato nei lavori precedenti che utilizzavano la semplice legge uniforme. Infine, cambiamo leggermente la strategia di rimozione delle specie e sviluppiamo una congettura sulla distribuzione limite delle specie sopravvissute in questa nuova situazione, fortemente supportata da molte simulazioni.