Extended Kalman filtering with switched covariance matrices. An application to roll angle estimation

One requirement for the Kalman filter to produce good state estimates is the accurate prior knowledge of the noise covariance matrices Q and R, accounting, respectively, for the uncertainty of the process model (wrong and unmodeled dynamics) and for the uncertainty of measurements (sensor noise). This is especially important in practical applications where the model of the system is made of several approximations. A wide range of approaches for the automatic estimation of these quantities has been proposed in the literature, but most of them assume stationary noise covariance matrices. In many applications, however, the weight of unmodeled dynamics, and hence the noise model, is not constant over time. In such cases, a fixed filter designed by conventional methods does not produce optimal estimates. The typical solution to overcome this limitation is to employ adaptive filters, that perform the online adjustment of Q and R. Nonetheless, this approach can hardly track abrupt variations of the noise model, that may often occur in practice. This thesis proposes an alternative approach that involves the use of switched systems in which the continuous dynamics is fixed and corresponds to the model of the physical system, while the discrete dynamics is used to switch between different noise models. A new randomized method is proposed for the identification of the optimal switching sequence between the noise models and for the simultaneous estimation of the corresponding noise covariance matrices. The problem of estimating Q and R is addressed by solving an optimization problem that minimizes the MSE of the state estimate, while the problem of identifying the correct switching sequence is at first formulated in a probabilistic framework and then solved through a randomized Monte Carlo approach. The method has been experimented on a practical application, concerning the problem of estimating the roll angle of a motorcycle using inertial measurements. In all the tests performed, the algorithm was able to identify a switched solution with better estimation performances with respect both to the case of constant covariance matrices and to the adaptive case.

Uno dei requisiti fondamentali affinché il filtro di Kalman possa produrre una stima ottima dello stato è l’accurata conoscenza delle matrici di covarianza del rumore Q ed R, riferite, rispettivamente, all’incertezza del modello di processo (dinamiche errate e non modellate) e all’incertezza delle misure (rumore dei sensori). Questo requisito risulta particolarmente importante nei casi pratici in cui il modello del sistema sia caratterizzato da notevoli approssimazioni. In letteratura sono disponibili diversi approcci per la stima automatizzata di queste statistiche, ma la maggior parte di essi assume che siano costanti. In alcune applicazioni, invece, il peso delle dinamiche non modellate, e quindi il modello del rumore, non è costante nel tempo. In questi casi un filtro con parametri statici non è in grado di produrre delle stime ottimali. La soluzione tipica per superare questa limitazione prevede l’impiego di filtri adattativi, che stimano Q ed R in tempo reale. Questo approccio fatica a seguire variazioni improvvise del modello di rumore, che sono frequenti nella pratica. Questa tesi propone un approccio alternativo, che coinvolge l’uso di sistemi ibridi in cui la dinamica continua è fissata e corrisponde al modello del sistema fisico, mentre la dinamica discreta è usata per commutare tra differenti modelli del rumore. Viene proposto un innovativo metodo randomizzato per l’identificazione della sequenza di commutazione ottimale tra modelli del rumore e per la stima contemporanea delle corrispondenti matrici di covarianza. Il problema della stima delle matrici Q ed R è risolto tramite un problema di ottimizzazione che minimizza l’MSE della stima dello stato, mentre il problema dell’identificazione della corretta sequenza di commutazione viene formulato in termini probabilistici e, in seguito, risolto per mezzo di un algoritmo Monte Carlo. Il metodo è stato sperimentato nel contesto del problema di stima dell’angolo di rollio di una moto a partire da segnali inerziali. In tutti i test effettuati, l’algoritmo è riuscito ad identificare una soluzione ibrida con prestazioni di stima migliori sia al caso di matrici di covarianza costanti che ad un metodo adattativo.