A partial differential model for multiscale dynamics of Alzheimer's disease

The Alzheimer's disease is one of the main causes of senile dementia. It is estimated that the 50-60% of the cases of senile dementia are due to Alzheimer's disease. In the last few years this disease has a higher and higher incidence. The aim of this thesis is the development of a mathematical model describing the evolution of the disease at short and long timescales, including plaque formation and the evolution of neural damage over years. We developed a model starting from the mixtures theory. The model consists of with a first equation of the Cahn-Hilliard type describing the amyloid beta concentration inside the brain. It models the amyloid aggregation and propagation. This equation is coupled with an equation describing a precursor protein, and another one for the neural damage. In this way we have a model covering all the time scales of the biological dynamics. The partial differential model is solved numerically using the finite element method, adapting an existing algorithm for the degenerate Cahn-Hilliard equation and adding the convex and concave splitting for all the energy functionals. Moreover we tried different methods, as Armijo and Polyak, to solve the variational inequality, which is added to guarantees the non negativity of the solution. Furthermore we implemented an adaptive time step algorithm to solve and capture the system dynamics at the relevant time-scales. Finally we performed simulations in some case tests over a simple bidimensional domain to validate our assumption and we compared the results with the biologic literature with the auxiliary of some biomarkers computed during the simulations. The behaviour observed on the solution over the two dimensional domain, is almost similar to the dynamics observed in the reality. Also the biomarkers are qualitatively comparable with the ones observed on real patients.

L'Alzheimer è una delle principali cause di demenza senile. Si stima che il 50-60% dei casi di demenza senile siano dovuti proprio all'Alzheimer. Negli ultimi anni è una malattia sempre più frequente. L'obiettivo di questa tesi è sviluppare un modello matematico che descriva l'evoluzione della malattia alla micro e macro scala, incluse la formazione di placche e l'evoluzione del danno neurale negli anni. Abbiamo costruito il modello partendo dalla teoria delle miscele. Il modello è formato a partire da una prima equazione di tipo Cahn-Hilliard, descrivente la concentrazione di beta amiloidi nel cervello. Descrive il processo di aggregazione e propagazione di beta amiloidi. Dopo di che l'abbiamo accoppiata con un equazione che modella una proteina precursore e un'altra che descrive il danno neurale. In questo modo il modello descrive tutte le scale temporali del problema biologico. Successivamente abbiamo risolto il sistema con un metodo agli elementi finiti, adattando un metodo già esistente per l'equazione Cahn-Hilliard degenere, e dividendo in parte convessa e concava i termini dei funzionali energetici. Inoltre abbiamo testato diversi metodi per risolvere la disuguaglianza variazionale, che serve per imporre la non negatività della soluzione, come quello di Armijo e di Polyak. In seguito abbiamo implementato un algoritmo per il time step adattativo in modo da catturare tutte le dinamiche alle rispettive scale temporali. Infine abbiamo fatto alcune simulazioni numeriche su di un semplice dominio bidimensionale per validare il nostro modello e comparare i risultati con i risultati di letteratura biologica, con anche l'ausilio di alcuni biomarker calcolati durante le simulazioni. L'andamento osservato nelle soluzioni sulle due mesh bidimensionali è molto simile a quello delle dinamiche osservate nella realtà. Anche i biomarkers sono qualitativamente comparabili con quelli osservati in pazienti reali.