A Cahn-Hilliard type equation with elastic energy contribution and its application to brain tumour growth dynamics

In the past few decades mathematical modelling took a fundamental role in the description of phenomena coming from various fields, including biology and medicine. In particular, several models have been proposed to portray solid tumours growth, in order to gain a deeper understanding and use it to intervene with targeted strategies adaptable to each patient's features and symptoms. The purpose of this thesis is to provide a theoretical and numerical analysis of a novel model which accounts for the elastic interaction between tumour cells and healthy cells. This model consist of a Cahn-Hilliard type partial differential equation, with degenerate mobility and single-well potential, with the addition of a nonlocal term in the chemical potential. Adopting a diffuse interface approach based on Mixture Theory, we derive the governing equations focusing on realistic physical and biological assumptions. We then provide existence and regularity results for the solution of a regularized problem which circumvents the mobility degeneracy and the potential singularity. This allows us to deduce suitable energy and entropy estimates uniform with respect to the regularization parameters, so we can pass to the limit in the regularized problem and prove existence results for different classes of weak solutions to the original problem. Eventually, we propose a continuous Galerkin Finite-Element discretization of the problem, where the positivity of the discrete solution is enforced through a variational inequality, and we prove the well-posedness of the discrete problem in all spatial dimensions, together with a convergence result in the one-dimensional case. Moreover, test simulations in the bidimensional case are studied.

Negli ultimi decenni la modellistica matematica ha assunto un ruolo fondamentale nella descrizione di fenomeni provenienti dai più svariati ambiti, tra cui la medicina e la biologia. In particolare, molti modelli sono stati proposti per rappresentare la crescita dei tumori solidi, in modo da poter comprendere più a fondo le loro meccaniche e nel contempo aiutare la progettazione di strategie \textit{ad hoc} che si adattino alla caratteristiche e ai sintomi del singolo paziente. Lo scopo di questa tesi è di fornire l'analisi teorica e numerica di un nuovo modello che tenga conto dell'interazione elastica tra le cellule tumorali e le cellule sane. Questo modello consiste in un'equazione differenziale alle derivate parziali di tipo Cahn-Hilliard con mobilità degenere e potenziale a singolo pozzo. Adottando un approccio basato sulla teoria delle miscele e sulla nozione di interfaccia diffusa, le equazioni che governano il fenomeno sono derivate tenendo conto di restrizioni fisiche e biologiche realistiche. In seguito, sono forniti risultati di esistenza e regolarità della soluzione per un problema regolarizzato che gestisca la degenerazione della mobilità e la singolarità del potenziale. Questo ci permette di dedurre opportune stime dell'energia e dell'entropia e di passare al limite nel problema regolarizzato, ottenendo risultati di esistenza per diverse classi di soluzioni deboli del problema originario. Infine, è discussa una discretizzazione agli elementi finiti continui del problema, in cui la positività della soluzione discreta è imposta attraverso una disuguaglianza variazionale, e sono provati risultati di buona posizione per il problema discreto in tutte le dimensioni spaziali, insieme ad un risultato di convergenza nel caso unidimensionale. Inoltre, si presentano simulazioni test nel caso bidimensionale.