Numerical methods for the simulation of particle motion in electromagnetic fields

In this thesis we study numerical methods for the approximate solution of problems arising in electromagnetism. Its main motivations come from applications to the modelling of high-energy particle accelerators. In this framework, we first compare the efficiency of several numerical methods for the omputation of particle trajectories in the design of a magnetic quadrupole for the High Luminosity - Large Hadron Collider (HL-LHC) project and we analyse the use of a specific vector potential gauge to reduce the computational cost. The results from this first comparison motivate the subsequent investigation of the accuracy of the numerical approximation of the field. We therefore develop a new type of discretization for the reconstruction of the magnetic scalar potential in cylindrical domains and we apply it to the field reconstruction from a realistic measurement process in a Bayesian framework. We compare this method with the reconstruction obtained by a more classical method based on the separation of variables, highlighting the benefits of the new type of discretization and its applicability to the reconstruction process. Motivated by the need of efficient methods for the description of electromagnetic fields, we extend the study to other types of problems for axisymmetric domains, which have a high practical relevance in particle accelerator applications. In this context, we propose the use of a method based on the Fourier basis and IsoGeometric Analysis (IGA) to exploit, on one hand, the computational efficiency that can be achieved thanks to the symmetry of the domain and, on the other, the exact representation of the geometry and the good approximation properties achievable in a IGA framework. Moreover, the proposed method forms a de Rham complex, which is a crucial property that allows to obtain a stable method which produces physically correct approximations. We finally apply the method to the computation of resonant modes of an accelerating TESLA cavity.

In questa tesi vengono studiati metodi numerici per la risoluzione di problemi in elettromagnetismo. Le principali applicazioni presentate provengono dall'ambito della fisica degli acceleratori ad alte energie. In questo contesto, viene confrontata l'efficienza di diversi metodi numerici per il calcolo delle traiettorie di particelle che attraversano il campo magnetico generato dal prototipo di un quadrupolo magnetico per il progetto High Luminosity - Large Hadron Collider (HL-LHC). Per la descrizione del campo è stato considerato un potenziale vettore in uno specifico Gauge che permette di ridurre il costo computazionale. I risultati di questa prima analisi motivano lo studio sull'accuratezza dei metodi numerici per l'approssimazione del campo. È stato perciò sviluppato un nuovo tipo di discretizzazione per la ricostruzione del potenziale scalare magnetico in domini cilindrici e questo è stato applicato per la ricostruzione di un campo magnetico a partire da misurazioni realistiche utilizzando un metodo Bayesiano. Questo è stato confrontato con un metodo classico basato sulla separazione di variabili, evidenziando i benefici di questo nuovo tipo di discretizzazione e la sua applicabilità per la ricostruzione del campo. La necessità di metodi efficienti per la descrizione dei campi elettromagnetici ha motivato l'estensione dello studio a generici domini assialsimmetrici, che hanno una forte rilevanza nelle applicazioni legate agli acceleratori di particelle. Viene perciò proposto un metodo basato sull'uso della serie di Fourier e dell'analisi isogeometrica (IGA) per sfruttare, da un lato, l'efficienza computazionale ottenibile grazie alla simmetria del dominio e, dall'altro, la possibilità di descrivere esattamente la geometria e le buone proprietà di approssimazioni tipiche dell'analisi isogeometrica. Con il metodo proposto è possibile formare un complesso di de Rham. Questa proprietà è cruciale per ottenere metodi numerici stabili che producono approssimazioni fisicamente corrette. Infine, Il metodo proposto è stato applicato per il calcolo dei modi risonanti in un cavità accelerante TESLA.