Isogeometric hierarchical model reduction: from analysis to patient-specific simulations

Isogeometric hierarchical model reduction (HIgaMod) was first introduced as a combination of hierarchically reduced models (HiMod) and Isogeometric Analysis (IGA) to approach Computational Fluid Dynamics (CFD) problems characterized by a predominant direction of flow. This type of problems arises in several applications in science and engineering and often requires computationally efficient methods to ensure an accurate modeling with a contained computational effort. In this work, we focus on the CFD problems modeled via partial differential equations (PDEs), that arise in hemodynamics, specifically on the arterial blood flow in major arteries. The main goal has been to extend the theory for the general case of 2D/3D linear advection-diffusion-reaction (ADR) problems and the Stokes equations to realistic configurations, in view of patient-specific simulations. The enrichment of a HiMod discretization with the isogeometric analysis represented a first crucial step in such a direction. Then, to tackle the parameter-dependence typical of these problems, we have introduced HIgaPOD, a model reduction technique that combines isogeometric hierarchical model reduction with Proper Orthogonal Decomposition (POD) in a linear setting. To manage nonlinear problems, we introduced the HIgaPOD-EIM/HIgaPOD-DEIM methods, by incorporating the Empirical Interpolation Method and the Discrete Empirical Interpolation Method into the HIgaPOD scheme. Successively, the computational efficiency and the reliability of these hierarchical schemes have been investigated in two different contexts, both relevant for hemodynamic modeling. First, we have considered the issue of solving the same PDE problems in a multi-query setting, i.e. for a Data Assimilation analysis. This technique is of particular interest for all the applications that require the incorporation of real data coming from available measurements in the solution of a PDE. In addition, Data Assimilation provides a framework to evaluate and minimize the intrinsic uncertainty associated to the physical model and the computational methods. The replacement of full models with a hierarchical discretization allowed us to considerably reduce the computational demand associated with standard Kalman filtering techiniques, without waiving the accuracy and the reliability of the analysis and of the estimates. Second, in view of a patient-specific analysis, we have settled a reconstruction procedure to build, starting from the information provided by medical images, a parametrization of the artery segment of interest where to perform the simulation. Isogeometric analysis has been very helpful for both the geometry reconstruction and the hierarchical modeling. In particular, we have been able to replicate the same investigation performed via full models in arteriosclerotic arterial branches but with a significant computational gain, thus confirming HiMod and its variant to be a reliable and efficient tool for hemodynamic modeling in clinical practice.

La tecnica di riduzione gerarchica isogeometrica di modello (HIgaMod) è stata inizialmente introdotta come una combinazione di modelli gerarchicamente ridotti (HiMod) e analisi isogeometrica (IGA) per affrontare i problemi della fluidodinamica computazionale (CFD) caratterizzati da una direzione predominante del flusso. Questo tipo di problemi sorge in diverse applicazioni scientifiche e ingegneristiche e spesso richiede metodi computazionalmente efficienti per garantire una modellazione accurata con uno sforzo computazionale moderato. In questo lavoro, ci concentriamo sui problemi della fluidodinamica modellizzati tramite equazioni differenziali parziali (PDE), che si presentano nell'emodinamica, in particolare sul flusso sanguigno arterioso nelle principali arterie del corpo umano. L'obiettivo centrale è stato quello di estendere la teoria nel caso generale di problemi di diffusione-trasporto-reazione (ADR) 2D / 3D e le equazioni di Stokes a configurazioni realistiche, in vista di simulazioni strutturate su dati reali del paziente. L'arricchimento di una discretizzazione HiMod con l'analisi isogeometrica ha rappresentato un primo passo cruciale in tale direzione. Pertanto, per affrontare la dipendenza da parametri, tipica di questi problemi, abbiamo introdotto HIgaPOD, una tecnica di riduzione di modello che combina la riduzione gerarchica isogeometrica di modello con la Proper Orthogonal Decomposition (POD) in un'impostazione lineare. Per gestire i problemi non lineari, abbiamo introdotto i metodi HIgaPOD-EIM / HIgaPOD-DEIM, incorporando il metodo di interpolazione empirica e il metodo di interpolazione empirica discreta nello schema HIgaPOD. Successivamente, l'efficienza computazionale e l'affidabilità di questi schemi gerarchici sono state studiate in due contesti diversi, entrambi rilevanti per la modellazione emodinamica. Innanzitutto, abbiamo considerato il caso della risoluzione di problemi differenziali in serie, ovvero per un'analisi di assimilazione dei dati o Data Assimilation. Questa tecnica è di particolare interesse per tutte le applicazioni che richiedono l'incorporazione di dati reali provenienti da misurazioni disponibili nella soluzione di una equazione a derivate parziali. Inoltre, l’assimilazione dati fornisce un framework per valutare e minimizzare l'incertezza intrinseca associata al modello fisico e ai metodi computazionali. La sostituzione di modelli full con una discretizzazione gerarchica ci ha permesso di ridurre considerevolmente la richiesta computazionale associata alle tecniche di filtraggio Kalman standard, senza rinunciare all'accuratezza e all'affidabilità dell'analisi e delle stime. In secondo luogo, in vista di un'analisi specifica per il paziente, abbiamo stabilito una procedura di ricostruzione di geometrie per costruire, partendo dalle informazioni fornite dalle immagini mediche, una parametrizzazione del segmento di arteria di interesse dove eseguire la simulazione. L'analisi isogeometrica è stata molto utile sia per la ricostruzione della geometria che per la modellazione gerarchica. In particolare, siamo stati in grado di replicare la stessa indagine eseguita tramite modelli full nei rami arteriosclerotici, ma con un significativo guadagno computazionale, confermando così HiMod e la sua variante come uno strumento affidabile ed efficiente per la modellazione emodinamica nella pratica clinica.