Discontinuous Galerkin methods for the Poisson problem on polyhedral meshes

The purpose of this work is to develop a 3D library able to solve the Poisson problem on polyhedral meshes, exploiting a Polyhedral Discontinuos Galerkin (PolyDG) method. Many applications are posed on complicated geometries and the process of mesh generation is very expensive. The PolyDG method supports very general meshes and allow the number of faces of each element to be arbitrarily large. More- over, some applications require high degree of accuracy, and again the PolyDG method is naturally suited to accommodate high order accuracy. In this work we develop a new library, coded in Matlab and in Fortran, that implements the PolyDG methods in three dimensions and on arbitrary grids. A vast set of numerical tests validates the theoretical results and shows the performances of the developed libraries.

Lo scopo di questo progetto di tesi è di sviluppare una libreria 3D in grado di risolvere il problema di Poisson su griglie poliedre sfruttando un metodo Polyhedral Discontinuos Galerkin (PolyDG). In numerose applicazioni, caratterizzate da domini di calcolo molto complessi, il processo di generazione della griglia di calcolo diventa estremamente costoso: da qui la necessità di metodi numerici in grado di risolvere velocemente su mesh composte da elementi di forma arbitraria, sfruttando la loro flessibilità geometrica ed evitando tecniche di remeshing. Il metodo PolyDG permette di considerare mesh composte da elementi con forme arbitrarie e con un numero di facce arbitrario. Inoltre, molte applicazioni richiedono un elevato grado di accuratezza nell’approssimazione: ancora, il metodo PolyDG è naturalmente adatto a supportare accuratezza arbitraria. In questo lavoro sviluppiamo una nuova libreria, scritta sia in Matlab che in Fortran, che implementi i metodi PolyDG in tre dimensioni e su griglie arbitrarie. Un ampio set di prove numeriche valida i risultati teorici e dimostra le prestazioni delle librerie sviluppate.