A framework for adaptive multiresolution lattice Boltzmann methods with applications to the numerical simulation of hyperbolic conservation laws

Lattice-Boltzmann schemes represent a cheap and effective alternative to traditional numerical methods in many domains of computational mathematics, in particular in computational fluid dynamics. On the other hand, adaptive multiresolution has proved to be a remarkable tool to perform time-dependent mesh adaptation for Finite Volumes schemes, granting good efficiency and a priori error bounds on the approximated solution. Starting from these premises, this work develops and analyzes an innovative class of Lattice-Boltzmann methods on a dynamically adaptive mesh constructed by multiresolution analysis, aiming at devising a hybrid numerical strategy inheriting the major advantages of its basic bricks, namely simplicity, efficiency and control on the error. More specifically, we start by adapting the multiresolution strategy to the considered problem, in order to ensure that the solution of the adaptive method is correctly represented at each time-step. Then, we present a Lattice-Boltzmann approach on non-uniform grids in a constructive fashion, which could thus be generalized to a multidimensional framework and to more complex schemes. Moreover, no artificial manipulation on the scheme is needed in order to recover the physical parameters. This approach is studied, under reasonable assumptions, from the theoretical point of view in order to derive estimates concerning the additional error introduced by the adaptive mesh. Finally, our approach is validated thoroughly using many different Lattice-Boltzmann schemes for various hyperbolic problems in 1D, with particular attention on the fulfillement of the theoretical estimates and on the capability of compressing the representation of the solution. First, we observe good agreement between the theoretical study and the outcome of the numerical simulation. Second, we remark that the method really succeeds in efficiently compressing the solution of the problems when steep fronts and shocks appear due to the non-linearities. The original content of this work sets the foudations to devise numerically efficient methods in the context of multidimensional problems, for which special care shall be devoted to the optimized implementation of the multiresolute structure in order to hugely decrease the computation time without degrading the quality of the solution.

Gli schemi Lattice-Boltzmann rappresentano un'alternativa economica ed efficiente ai metodi numerici tradizionali in molti campi della matematica numerica, in particolare nella meccanica dei fluidi computazionale. D'altro canto, la multirisoluzione adattativa si è dimostrata essere uno strumento efficace al fine di effettuare un'adattazione di mesh tempo-dipendente per gli schemi ai volumi finiti, garantendo una buona efficienza e delle stime a priori dell'errore commesso dalla soluzione approssimata. Partendo da questi presupposti, questo lavoro di tesi sviluppa e analizza un'innovativa classe di metodi Lattice-Boltzmann su mesh adattate dinamicamente construite a mezzo dell'analisi via multirisoluzione, prefiggendosi come scopo di creare una strategia numerica ibrida che erediti i principali vantaggi delle sue componenti di base, in particolare la semplicità, l'efficienza e il controllo sull'errore. Più nel dettaglio, cominciamo ad adattare la strategia della multirisoluzione al problema considerato, in maniera tale da assicurarsi che la soluzione del metodo adattativo sia correttamente rappresentata ad ogni passo di tempo. In seguito, presentiamo un approccio Lattice-Boltzmann su griglie non uniformi in maniera costruttiva, che potrà essere generalizzato al caso multidimensionale e a schemi più complessi. Inoltre, non è necessario introdurre alcuna manipolazione artificiale sugli schemi numerici allo scopo di ritrovare i parametri fisici richiesti. Tale approccio viene studiato, modulo un certo numero di ragionevoli ipotesi, da un punto di vista teorico in modo da ottenere delle stime dell'errore addizionale introdotto dalle griglie adattative. Infine, il nostro approccio è validato in profondità utilizzando diversi schemi di tipo Lattice-Boltzmann per l'approssimazione di problemi iperbolici 1D, prestando particolare attenzione al rispetto delle stime teoriche e alla capacità di comprimere la rappresentazione della soluzione. In primo luogo, osserviamo un buon accordo tra lo studio teorico e i risultati delle simulazioni numeriche. In secondo luogo, sottolineiamo il fatto che la nostra strategia riesca a comprimere efficacemente la soluzione dei problemi considerati qualora si sviluppino, a causa delle non-linearità, fronti ripidi e shock. Il contenuto innovativo di questo lavoro getta le basi per sviluppare metodi numerici efficienti nel contesto di problemi a più dimensioni, per i quali un'attenzione particolare dovrà essere prestata all'implementazione della procedura della multirisoluzione in modo da diminuire grandemente i tempi di calcolo senza degradare sensibilmente la qualità della soluzione.