Density estimation with differential regularization

In this thesis an innovative nonparametric method for density estimation is considered. The method is based on a maximum likelihood approach combined with a regularization technique involving a differential operator, which controls the smoothness of the estimate. The model is suitable for multidimensional domains with complex geometries. In particular, two- dimensional Riemannian manifolds and three-dimensional domains are considered. The proposed method is highly innovative since non-trivial multidimensional domains have not yet been sufficiently addressed in literature. Moreover, this technique proves to be particularly able to capture highly skewed signals and strong anisotropies. The estimation procedure is based on finite elements, enabling great flexibility on the spatial domains considered. Simulation studies on different domains are reported, showing the strength of the proposed approach and comparing performance with respect to the kernel density estimation. Finally, the density estimation method here considered is illustrated with an application on the distribution of earthquakes in the world.

In questa tesi si considera un metodo non-parametrico innovativo per la stima di densità. Il metodo si basa su un approccio di massima verosimiglianza unito a una tecnica di regolarizzazione che tiene conto di un operatore differenziale, per controllare la liscezza della stima. Il modello è adatto per domini multidimensionali con geometrie complesse. In particolare vengono considerate varietà Riemanniane di dimensione 2 e domini tridimensionali. Il metodo considerato è altamente innovativo in quanto domini multidimensionali non banali non sono stati ancora sufficientemente trattati in letteratura. Inoltre, la tecnica proposta risulta essere particolarmente adatta a catturare segnali molto distorti e forti anisotropie. La procedura di stima si basa sugli elementi finiti, permettendo grande flessibilità nei domini considerati. Nel testo vengono presentate alcune simulazioni svolte su domini differenti, in modo da mostrare i punti di forza del metodo proposto e comparare le prestazioni ottenute con la stima kernel di densità. Infine, il metodo di stima di densità qui considerato viene utilizzato per un’applicazione sulla distribuzione dei terremoti nel mondo.