Vibration control of quasi-periodic structures via adiabatic and non-adiabatic stiffness modulation

In this thesis, a family of quasi-periodic (QP) structures is investigated, in the attempt to actively design a digitally controllable mechanical delay line able to control the propagation of elastic signals through mechanical structures. This is first accomplished in simple periodic/quasi-periodic stiffness modulated spring-mass chains (SMCs), which are employed as platform to elucidate the basic behaviour and concepts adopted in the present work. Specifically, the mechanism that allows to control the energy in the system relies on non-trivial topological properties associated to the so-called frequency bandgaps, that are bands in which wave propagation is forbidden and typically associated to infinitely long periodic structures. It will be demonstrated how interruption of infinite periodic patterns allows to generate topological edge modes where patterns are broken. The localization of modes also occurs inside the space domain according to specific conditions of the modulation profile. It will be proven that, depending upon the system configuration, one can vary a relevant parameter in time to induce a transition of the topological mode, which is accompanied with shape transformation and responsible for the control of energy through the structure. Such parameter is the phase of stiffness modulation. Following the results attained for SMCs, the analysis of continuous elastic systems is performed. A family of continuous periodic and quasi-periodic structures is obtained by smoothly varying parameters of an electro-elastic beam with bonded piezoelectric patches, resulting in a modulation of the equivalent Young's modulus profile in time. It will be shown that localized topological modes arise in QP beams. Such localization is driven by the phase of modulation of the Young's modulus profiles along the beam. Localized modes transition is exploited to transport the elastic energy in specific positions of the QP beam and is realized through linear variation of phase parameter in time. It is first presented an edge-to-interior pumping capable to drive the input energy from border to midspan of the beam. Additional opportunities are offered by avoided crossings, which consist of a coupling between reversely polarized topological states. Therefore, avoided crossings are exploited to move elastic energy from one edge to the other. Before that, a theoretical study on phase speed is addressed, in order to predict how elastic energy is distributed among the topological states.

Il lavoro di seguito presentato ha come oggetto una famiglia di strutture quasi-periodiche e si pone l'obiettivo di progettare, attivamente, una linea di ritardo meccanica controllata digitalmente, che sia in grado di controllare la propagazione di segnali elastici all'interno di strutture meccaniche. Questo scopo viene perseguito innanzitutto con semplici sistemi massa-molla periodici o quasi-periodici e modulati in rigidezza, che sono impiegati come piattaforma per spiegare i concetti adottati in questo studio. Nello specifico, il meccanismo che consente il controllo dell'energia nel sistema si basa su proprietà topologiche non banali associate a bande in frequenza, dette bandgaps, in cui non avviene la propagazione delle onde e che sono tipiche di strutture periodiche infinitamente lunghe. Si mostrerà come in corrispondenza dell'interruzione di schemi periodici si possono formare i modi topologici di bordo. La localizzazione dei modi di vibrare avviene anche all'interno della struttura, quando si rispettano specifiche condizioni del profilo di modulazione. Verrà dimostrato che, a seconda della configurazione del sistema, è possibile variare un certo parametro nel tempo inducendo una transizione del modo topologico, la quale si presenta con una trasformazione della forma del modo consentendo il controllo dell'energia attraverso l'intera struttura. Il parametro in oggetto è la fase di modulazione della rigidezza. In seguito ai risultati raggiunti per le catene massa-molla, l'analisi si sposta su sistemi elastici continui. Una famiglia di strutture continue periodiche e quasi-periodiche viene definita variando i parametri di una trave elettromeccanica realizzata incollando patches piezoelettriche sulla superficie, in modo da ottenere una modulazione nel tempo del profilo di modulo di Young equivalente. Anche nelle travi quasi-periodiche verranno individuati modi topologici di bordo, la cui localizzazione può essere spostata lungo la trave in funzione della fase di modulazione del profilo di rigidezza. La transizione dei modi localizzati è realizzata variando il parametro di fase nel tempo, affinché si possa spostare l'energia elastica in specifiche posizioni lungo la trave. In primis, viene presentata una con figurazione capace di guidare l'energia elastica dal bordo alla mezzeria della struttura. Un'opportunità aggiuntiva è offerta dai cosiddetti avoided crossings, che si formano dall'accoppiamento di modi (o stati) topologici oppositamente polarizzati. Pertanto, gli avoided crossings vengono impiegati per muovere l'energia elastica da un bordo all'altro della trave. Prima di ciò, viene proposto uno studio teorico sulla velocità di variazione della fase, con l'obiettivo di prevedere come l'energia elastica si distribuisce tra gli stati topologici.