Uncertainty quantification of acoustic wave propagation in random heterogeneous media

This thesis has the aim of studying uncertainty quantification for acoustic wave propagation in random heterogeneous, possibly layered, media. Uncertainty quantification nowadays is a key concept in applied mathematics and finds its application in many complex problems, for instance in the engineering sector or in sciences fields: the study of propagation of acoustic waves in heterogeneous media is of crucial importance in geophysics. In the first part of the work we introduce an efficient generator for the realization of the random permeability coefficient, which is characterized by an anisotropic covariance kernel and makes use of the spectral Fast Fourier transform methods, and we present the Monte Carlo Finite Element method to study uncertainties. In the second part of the work we address one of the main issues of the Monte Carlo method: its slow rate of convergence. We introduce the Control Variate approach and study its application to a generic second order hyperbolic problems. Through this method, that is capable to reduce the variance of the standard Monte Carlo method, we improve the efficiency of the proposed approach.

L'obiettivo di questa tesi è di studiare il problema della quantificazione delle incertezze per la propagazione di onde acustiche in mezzi eterogenei, stocastici ed, eventualmente, stratificati. La quantificazione delle incertezze è ad oggi un concetto chiave nella matematica applicata e trova applicazione in numerosi problemi complessi, dal campo ingegneristico a quello delle scienze: lo studio della propagazione delle onde acustiche e relative incertezze è un concetto chiave in geofisica. Nella prima parte di questo lavoro abbiamo introdotto un generatore efficiente per la realizzazione del coefficiente di permeabilità stocastico, questo generatore è caratterizzato dall'utlizzo di un kernel di covarianza anisotropo e della trasformata di Fourier. Per lo studio delle incertezze abbiamo introdotto il metodo Monte Carlo agli Elementi Finiti. Nella seconda parte del lavoro abbiamo affrontato uno dei problemi principali del metodo Monte Carlo: la sua lenta velocità di convergenza. Per questo motivo abbiamo introdotto il metodo Control Variate e studiato la sua applicazione a un generico problema iperbolico del secondo ordine. Utilizzando questo approccio, che permette di ridurre la varianza del metodo classico Monte Carlo, possiamo migliorare l'efficienza del metodo proposto.