Improving efficiency of algebraic multigrid methods through artificial neural networks

In this work we present a novel approach to improve the efficiency of the Algebraic Multigrid (AMG) method for solving linear systems of equations through the use of Artificial Neural Networks (ANNs). In particular, the AMG method is usually applied to linear systems with symmetric positive definite matrix that stem from the finite element (FE) discretization of partial differential equations (PDE), e.g. Laplace's equation, Maxwell's equations, linear elasticity and fluid flow through porous media. Even though, in this context, AMG is one of the fastest solvers, its parameters need to be properly set in order to work efficently. Among them, the parameter that defines the so called strong connection (called strong threshold) is arguably the most important. Due to the absence of a well corroborated method that defines how to precisely choose its value, we propose to employ an ANN to predict the strong threshold that maximizes the efficiency of the AMG method with respect to the linear system to be solved. We choose to use ANNs due to their flexibility and ability to learn what are the most relevant features of their input. To this end, we build a dataset containing more that 14 thousand training examples derived from the FE method discretization of a 2D elliptic equation with a highly heterogeneous diffusion coefficienct. We carry an in depth analysis of the effects of tuning the strong threshold parameter and we study the accuracy of our model to predict the optimal value of the parameter in this framework. In particular we propose to apply a procedure analogous to the pooling employed in Convolutional Neural Networks (CNNs) to the matrix of the linear system to which AMG method is applied in order to use it as input of the ANN.

In questo lavoro presentiamo un nuovo approccio volto a migliorare l'efficienza del metodo Multigrid Algebrico (AMG) per la risoluzione di sistemi lineari attraverso l'utilizzo di reti neurali artificiali (ANNs). Nello specifico, il metodo AMG è solitamente applicato a sistemi lineari con matrice simmetrica definita positiva che derivano dalla discretizzazione ad elementi finiti (FE) di equazioni alle derivate parziali (EDP), es. equazione di Laplace, equazioni di Maxwell, elasticità lineare e flusso di liquidi in mezzi porosi. Anche se in questo contesto il metodo AMG è uno dei risolutori più veloci, i suoi parametri devono essere ben calibrati affinché funzioni efficientemente. In particolare, tra di essi, probabilmente il parametro più importante è lo strong threshold, cioè il parametro che definisce quella che viene chiamata una connessione forte. A causa della mancanza di un metodo corroborato che definisce come scegliere in maniera netta questo parametro, proponiamo di utilizzare una ANN per predire il valore dello strong threshold che massimizza l'efficienza del metodo AMG rispetto al sistema lineare che deve essere risolto. Abbiamo scelto di utilizzare una ANN per via della loro flessibilità e della loro abilità di imparare quali sono le caratteristiche più rilevanti degli esempi datigli come input. A questo scopo, abbiamo costruito un dataset con più di quattordicimila esempi derivati dalla discretizzazione tramite metodo degli elementi finiti di un'equazione ellittica in 2D con un coefficiente di diffusione altamente eterogeneo. Inoltre, effettuiamo un'approfondita analisi degli effetti della calibrazione del parametro strong threshold e studiamo l'accuratezza con cui il nostro modello riesce a predirne il valore ottimale. Nello specifico proponiamo di applicare una procedura simile al pooling utilizzato nelle reti neurali convoluzionali (CNN) alla matrice del sistema lineare al quale il metodo AMG è applicato al fine di poterla utilizzare come input della ANN.