Fe & Nurbs based discretisation for one dimensional seepage and infiltration in porous media

A preliminary study is presented on the use of Non Uniform B{Splines (NURBS) for the numerical analysis of one dimensional hydraulic problems in unsaturated soils. This class of problems is characterised by high degree of non linearity and by coupling between the gaseous and the liquid phases. In principle, NURBS based numerical models may present a few advantages with respect to standard Lagrange polynomial based Finite Elements. They possess useful mathematical properties, such as any desired order of continuity, variation diminishing and convex hull prop- erties, and the ability to be re ned through various techniques, including knot insertion (h-re nement), order elevation (p-re nement), and k-re nement. Higher order NURBS have been implemented in a numerical code for the analysis of prob- lems of increasing complexity. Linear steady state and time dependent problems are tackled rst, to verify the implementation procedures. Afterwards, non linear time-dependent problems are studied, including one-phase and two-phase in ltra- tion problems. The performance of NURBS based discretisation is compared to that of the Lagrange-based nite elements, with reference to a benchmark problem suggested in the past to test such numerical algorithms (Liakopoulos' problem), and with reference to data coming from a prototype experimental soil column. Various interpolation orders and re nement techniques are analysed and compared. The in uence of starting algorithm, mass-lumping technique, and initial time-step am- plitude are evaluated. The work suggests that for linear and non linear standard di usion problems NURBS may provide a valuable alternative to FEM. They do not show de nite advantages over the more classical FEM in terms of solution accuracy. Nonetheless, their implementation is straightforward and allow for more exible re- nement procedures. Advantages in terms of stability of the time-stepping scheme and accuracy of the discretised solution are demonstrated for non linear degenerate parabolic problems, especially at increasing interpolation order.

Si presenta uno studio preliminare sull' uso di particolari funzioni spline non uniformi, note come NURBS (Non-Uniform B-splines), applicate ad analisi di problemi di filtrazione e infiltrazione in mezzi porosi non saturi. Le NURBS presentano molti vantaggi rispetto alle funzioni polinomiali lagrangiane, implementate nei modelli FEM, grazie alle loro proprietà matematiche. In particolare sono funzioni la cui continuità può essere variata a piacere, la cui diminuzione del gradiente all'aumentare del grado del polinomio permette di avere soluzioni più accurate e la cui alta flessibilità permette agili combinazioni dei raffinamenti di tipo h, p e k. L' analisi è stata focalizzata su problemi idraulici monodimensionali in terreni non saturi, implementando un codice numerico con NURBS di ordine crescente, su problemi con complessità via via maggiore. Sono stati affrontati un problema lineare stazionario e uno dipendente dal tempo, con lo scopo di testare le procedure implementate. Successivamente si è passati a problemi non lineari di infiltrazione monofase e bifase. Le prestazioni delle NURBS sono state confrontate con quelle delle funzioni lagrangiane usate nel codice FE, su un problema di riferimento suggerito in passato per testare questo tipo di algoritmi numerici, Liakopolous test, e come applicazione a un caso reale su un prototipo di colonna di terreno. Sono stati analizzati differenti ordini di interpolazione abbinati ai diversi schemi di raffinamento. Infine, è stata fatta un' analisi di sensibilità delle soluzioni all' algoritmo di partenza, alla tecnica del mass-lumping e all' ampiezza del passo temporale iniziale. I risultati suggeriscono che le NURBS costituiscono una valida alternativa ai FEM nel campo di problemi standard di diffusione, lineare e non lineari. Non mostrano vantaggi significativi dal punto di vista dell'accuratezza dei risultati. Ciononostante hanno una ricchezza intrinseca nella loro facilità di implementazione e di manipolazione, sopratutto per gli alti gradi di interpolazione. Le loro proprietà sono maggiormente sfruttate in problemi parabolici non lineari degeneri, dove permettono il raggiungimento di soluzioni più stabili e accurate.