On the analysis of Bloch-wave solution in space and space-time periodic structures

In this thesis, analysis of the Bloch-wave solution in periodic structures is investigated. Particular focus on structures with periodic arrangements of unit cells, and structures with elastic properties that are periodically varying in space and space-time. The spatial periodicity of geometrical, or elastic properties introduces discontinuities in the system allowing incident and reflected waves, to sum up in a destructive way thus, providing frequency ranges where waves do not propagate, commonly known as band-gaps or stop-bands. This behavior as mechanical filters has drawn the attention of many researchers in different fields, such as vibration isolation and energy harvesting. Temporal modulation, on the other hand, breaks time-reversal symmetry, leading to the formation of band-gaps occurring at different frequencies for counterpropagating waves. In this work, the basic wave theory for discrete and continuous periodic structures is introduced, followed by the analysis of Bloch-wave solution in 1D systems discretized through FEM. Ultimately, reconstructing all spatiotemporal harmonics of a wave solution allowing to identify the leading solution in a wave propagating problem. This technique is then applied to 2D discretely modulated plates where the complexity of the problem increases, highlighting the necessity in filtering out the leading branch of the dispersion relation and so far no investigations have been done on this topic. The latter work has been already published and can be extended to multiple areas of physics, such as acoustic, elastic, and electromagnetic systems, where periodic time-varying material properties may be used to obtain non-reciprocal wave propagation.

In questa tesi, viene effettuata un’analisi della soluzione di onde Bloch di strutture periodiche. Particolare attenzione è stata posta alle strutture con disposizione periodica di celle unitarie e strutture con proprietà elastiche periodiche, variando nello spazio e nello spazio-tempo. La periodicità spaziale delle proprietà geometriche o elastiche introduce discontinuità nel sistema che consentono di sommare onde incidenti e riflesse in modo distruttivo fornendo quindi intervalli di frequenza dove le onde non si propagano, comunemente noto come gap di banda o stop-band. Questo comportamento come filtri meccanici ha attirato l’attenzione di molti ricercatori in campi diversi come l’isolamento delle vibrazioni e la raccolta di energia. La modulazione temporale, d’altra parte, rompe la simmetria di inversione temporale, portando alla formazione di gap di banda che si verificano a frequenze diverse per onde contro-propaganti. In questo lavoro, viene introdotta la teoria delle onde di base per strutture periodiche discrete e continue, seguita dall’analisi della soluzione di onde Bloch in sistemi 1D discretizzata tramite FEM. Infine, si ricostruiscono tutte le armoniche spazio-temporali di una soluzione d’onda consentendo quindi di identificare la soluzione principale in un problema di propagazione dell’onda. Questa tecnica viene quindi applicata a piastre 2D modulate in modo discreto in cui la complessità del problema aumenta, andando ad evidenziare la necessità di filtrare il ramo principale della relazione di dispersione, e finora non sono state condotte indagini su questo argomento. Quest'ultimo lavoro è già stato pubblicato e può essere esteso a molteplici aree della fisica, come i sistemi acustici, elastici ed elettromagnetici, in cui è possibile utilizzare proprietà periodiche tempo-varianti del materiale per ottenere una propagazione non reciproca delle onde.