Modelling oceanographic measurements and streams via spatial regression with differential penalization

This thesis focuses on Spatial Regression Models with Partial Differential Equation Regularization. This type of regularization can offer a rich and flexible spatial and spatio-temporal modelization, with the possibility of capturing various forms of anisotropy and non-stationarity. Moreover, when some prior knowledge about the phenomenon is available, formalised with a partial differential equation, this information can be used to define the spatial or spatio-temporal structure of the model. To deploy this powerful feature of the models, it is thus crucial to be able to accurately translate the available problem-specific information in an appropriate PDE. This thesis focuses on this aspect, proposing a method based on finite elements, that leverages on auxiliary data. The method is illustrated in an important case study, concerning the analysis of oceanografic measurements taken at buoy in the Gulf of Mexico. Here we model the gulf stream by a PDE, exploiting satellite data on the currents, that are used to derive the transport term. We also show how a peculiar pattern of the observation generates instability in the estimates. This is also illustrated though the application to the buoy data, where the data locations, the moored buoy, are indeed highly concentrated in small parts of the domains, close to the boundaries, leaving uncovered large parts of the domain. We show how this issue can be faced by appropriately defining the finite element mesh used to solve the estimation problem. Finally, we show the application to the sea surface temperature. First, we want to capture the influence of the Gulf Stream on the spatial distribution of the sea surface temperature, Secondly we want to explore some possible relations between sea surface temperature and concentration of nutrients as oxygen, phosphates, silicates and nitrates, which are treated as covariates in the Spatial Regression model.

Questo lavoro di tesi si concentra su Modelli di Regressione Spaziale con Regolarizzazione a Equazioni alle Derivate Parziali. Questo tipo di regolarizzazione è in grado di offrire una modellizzazione spaziale e spazio-temporale ricca e flessibile, con la possibilità di catturare varie forme di anisotropia e non-stazionarietà. Inoltre, quando è disponibile una conoscenza riguardo il fenomeno da analizzare, formalizzabile attraverso un'equazione alle derivate parziali, questa informazione può essere utilizzata per definire la struttura spaziale o spazio-temporale del modello. Per sfruttare questa peculiarità, è fondamentale poter tradurre accuratamente l'informazione a priori in una EDP appropriata. La tesi si concentra su questo aspetto, proponendo un metodo basato sugli elementi finiti che utilizza dati ausiliari. Il metodo è spiegato in un importante caso studio, riguardante l'analisi di misurazioni oceanografiche catturate dalle boe nel Golfo del Messico. Precisamente, traduciamo la corrente del golfo con una EDP, utilizzando dati da satellite sulle correnti che vengono utilizzate per derivare il termine di trasporto all'interno dell'equazione. Mostriamo anche come la particolare distribuzione delle osservazioni genera instabilità nella stima spaziale. Infatti, le boe sono mal posizionate, aggregate tra loro e molto vicine al bordo del dominio, lasciando scoperta gran parte del dominio. Mostriamo come questo problema può essere affrontato definendo la mesh più appropriata per risolvere il problema di stima. Infine si mostra un'applicazione ai dati di Temperatura superficiale del mare del Golfo del Messico con un duplice scopo: da un lato catturare l'influenza della corrente del Golfo sulla distribuzione spaziale della temperatura, dall'altro di esplorare possibili relazioni tra temperatura della superficie del mare e concentrazione di nutrienti come ossigeno, fosfati, silicati e nitrati, incorporando questi ultimi come covariate all'interno del modello di Regressione Spaziale.