Bone tissue is an example of composite material whose mechanical performance is better compared to the behaviour of its main constituents. Bone structure is complex, it has different hierarchical levels, which provide bones good mechanical performance; in fact bones are strong and tough, even if they are lightweight. Due to the great importance of structure in mechanical behaviour, the first chapter of this thesis describes the geometry and the mechanical properties of bones. Particular attention is given to microscale and nanoscale levels, which are used to obtain the geometrical model and the mechanical parameters for computational analysis. Modelling the mechanical behaviour and crack propagation of complex structure or composite materials is not simple both from the analytical point of view and from the computational point of view. This problem can be found in modelling the mechanical behaviour of bone tissues, because they are geometrically complex, and they have different mechanisms which avoid crack propagation at different hierarchical levels. In this work, fracture propagation is described using a phasefield mechanical model, i.e. using a specific function, called phasefield. Using this function, material is divided in different phases (zone), which have different behaviours. In this case, phasefield function is used to represent accumulate damage; the function is 0, when material is undamaged, while it is 1, when the material is completely damaged. Using this function stress state is changed, higher is the value of the phasefield, less is the stress which the material can transmit. In the second chapter of this work, starting from the article of Miehe et Al., the variational principle, which allows to calculate both phase field and displacement state, is presented, and the way in which it has been aproximated using computational solution is shown, i.e. the staggered solution presented by Molnar et Al. using finite element method. In the first experimental part, phase field model is implemented, and some key elements are presented: the importance of load increment, mean element dimension, energy absorbed, and load type. The second and the third experimental parts are about the bone tissue; the second part regards the nanoscale hierarchical level, while the third deals with the microscale mechanical behaviour. At nanoscale bones are composed by a ductile byological matrix, in which Type I collagen is the main component, and by hard brittle mineral particles, composed predominantly by hydroxyapatite. At this level, bones are modellized using a matrix, which has the mechanical properties of collagen, and rectangular particles, which have the mechanical properties of hydroxyapatite. For this geometry we study the compatibility with the experimental results, founded in literature, and we analyze the importance of HAP particle geometry, considering how mechanical behaviour changes when orientation, dimension and overlapping vary. The last part of the work is about the behaviour of cortical tissue at microscale level: the structure is composed by osteons, cementline, and interstitial matrix. Mechanical models of cortical bones are subjected to different tests to verify if the solution obtained using phase field is similar to experimental values, we consider the elastic modulus and the energy absorbed during fracture propagation. This work shows that phasefield is a valid solution to model crack propagation in composite materials, and it describes the solution obtained for bonelike geometries.
I tessuti ossei sono un esempio di materiale composito estremamente più performante rispetto alle singole componenti che lo formano. La struttura del tessuto osseo è molto complessa, infatti presenta differenti strutture gerarchiche, grazie alla quale alle ossa vengono garantite ottime capacità meccaniche, sono infatti estremamente resistenti a molte sollecitazioni, mantenendo allo stesso tempo un peso contenuto. Vista l’importanza della geometria nel computo delle proprietà meccaniche, il primo capitolo di questa tesi verterà la descrizione della struttura ossea, facendo riferimento, in particolare, alle geometrie e alle proprietà meccaniche che ne derivano, focalizzandosi, sulla microscala e sulla nanoscala, dal cui studio sono poi stati ottenuti i modelli geometrici e i parametri meccanici per le analisi computazionali. Modellizzare il comportamento meccanico, in particolare la dinamica di nucleazione e propagazione della frattura, di strutture complicate e di materiali compositi è estremamente oneroso, sia dal punto di vista analitico, spesso estremamente complicato o risolvibile per pochi semplici casi, sia dal punto di vista computazionale, spesso molto dispendioso in termini di tempo e risorse. Questo problema riguarda anche la modellazione del tessuto osseo, perché è geometricamente complesso e presenta diversi meccanismi di resistenza alla propagazione della cricca a diversi livelli strutturali. Il problema della rappresentazione meccanica della frattura viene risolto in questo lavoro attraverso l’utilizzo di un metodo computazionale basato sul sistema phasefield, ovvero, attraverso l’utilizzo di una funzione specifica, vengono definite diverse fasi (zone) il cui comportamento è differente. Nel caso qui presentato, la funzione del phasefield rappresenta il danno accumulato all’interno del materiale, quando essa vale 0, il materiale è integro, mentre quando assume un valore di 1, è completamente rotto. Usando questa funzione viene modulato lo stato di sforzo, in particolare maggiore è il valore di danno, minore è lo sforzo trasmesso dal materiale. Nel secondo capitolo della tesi viene spiegato il principio variazionale che permette di risolvere il problema meccanico per calcolare il phasefield e il campo degli spostamenti, a partire dal modello presentato da Miehe et Al., e di come questo venga risolto in maniera approssimata per mezzo di un metodo computazionale, come già svolto da Molnar et Al., attraverso un programma agli elementi finiti. Nella prima parte sperimentale, il modello phasefield è stato implementato e sono stati considerati alcuni aspetti chiave del metodo, sottolineando la risposta in funzione dell’incremento di carico, della dimensione media degli elementi e del tipo di sollecitazione. La seconda e la terza parte delle soluzioni riguardano il tessuto osseo, in particolare la seconda parte verte la modellazione meccanica del tessuto osseo al livello nanometrico, mentre la terza parte riguarda il livello micrometrico. Le ossa alla nanoscala sono un composito relativamente semplice, sono formate da una matrice biologica molto duttile, prevalentemente collagene di tipo I, e da particelle minerali dure e fragili, formate principalmente da idrossiapatite. A questo livello le ossa sono state modellizzate come una matrice, con proprietà meccaniche del collagene, contenente particelle rettangolari, che presentano le proprietà dell’idrossiapatite. Per questa geometria è stato verificato la possibile compatibilità con il comportamento meccanico sperimentale ed è stato studiato l’effetto della variazione della dimensione delle particelle di HAP, della loro sovrapposizione e dell’angolo di inclinazione rispetto il carico applicato. L’ultima sezione riguarda invece lo studio del tessuto osseo corticale alla scala micrometrica: a questo livello la struttura è prevalentemente formata da osteoni, circondati da linee cementizie, immersi in una matrice di tessuto lamellare. I modelli meccanici delle ossa corticali sono stati sottoposti a dei test per verificare che il comportamento meccanico ottenuto con il phasefield sia paragonabile a quello rilevato sperimentalmente, in particolare è stato considerato il modulo di Young, l’energia assorbita e il percorso compiuto dalla frattura. Questo lavoro mostra come questo metodo possa rappresentare una valida soluzione per rappresentare la propagazione della frattura all’interno dei materiali ed i risultati ottenuti con questo modello per geometrie simili a quelle delle ossa.
Phase field model implementation for fracture propagation in bones
MALBERTI, ALESSIO
2019/2020
Abstract
Bone tissue is an example of composite material whose mechanical performance is better compared to the behaviour of its main constituents. Bone structure is complex, it has different hierarchical levels, which provide bones good mechanical performance; in fact bones are strong and tough, even if they are lightweight. Due to the great importance of structure in mechanical behaviour, the first chapter of this thesis describes the geometry and the mechanical properties of bones. Particular attention is given to microscale and nanoscale levels, which are used to obtain the geometrical model and the mechanical parameters for computational analysis. Modelling the mechanical behaviour and crack propagation of complex structure or composite materials is not simple both from the analytical point of view and from the computational point of view. This problem can be found in modelling the mechanical behaviour of bone tissues, because they are geometrically complex, and they have different mechanisms which avoid crack propagation at different hierarchical levels. In this work, fracture propagation is described using a phasefield mechanical model, i.e. using a specific function, called phasefield. Using this function, material is divided in different phases (zone), which have different behaviours. In this case, phasefield function is used to represent accumulate damage; the function is 0, when material is undamaged, while it is 1, when the material is completely damaged. Using this function stress state is changed, higher is the value of the phasefield, less is the stress which the material can transmit. In the second chapter of this work, starting from the article of Miehe et Al., the variational principle, which allows to calculate both phase field and displacement state, is presented, and the way in which it has been aproximated using computational solution is shown, i.e. the staggered solution presented by Molnar et Al. using finite element method. In the first experimental part, phase field model is implemented, and some key elements are presented: the importance of load increment, mean element dimension, energy absorbed, and load type. The second and the third experimental parts are about the bone tissue; the second part regards the nanoscale hierarchical level, while the third deals with the microscale mechanical behaviour. At nanoscale bones are composed by a ductile byological matrix, in which Type I collagen is the main component, and by hard brittle mineral particles, composed predominantly by hydroxyapatite. At this level, bones are modellized using a matrix, which has the mechanical properties of collagen, and rectangular particles, which have the mechanical properties of hydroxyapatite. For this geometry we study the compatibility with the experimental results, founded in literature, and we analyze the importance of HAP particle geometry, considering how mechanical behaviour changes when orientation, dimension and overlapping vary. The last part of the work is about the behaviour of cortical tissue at microscale level: the structure is composed by osteons, cementline, and interstitial matrix. Mechanical models of cortical bones are subjected to different tests to verify if the solution obtained using phase field is similar to experimental values, we consider the elastic modulus and the energy absorbed during fracture propagation. This work shows that phasefield is a valid solution to model crack propagation in composite materials, and it describes the solution obtained for bonelike geometries.File | Dimensione | Formato | |
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