Space-time regression with differential regularization for partially observed spatially dependent functional data

In this thesis, we develop a particular spatio-temporal regression technique with differential regularization, and through this technique, we analyze partially observed functional data with spatial dependence. Moreover, we study the asymptotic properties of the method discrete estimators proving their consistency and asymptotic normality, which allows, for example, to construct approximate confidence intervals. The proposed technique is particularly efficient also from the computational point of view thanks to the use of Woodbury matrix identity, which allows a convenient rewriting of the system involved in the estimation problem and the introduction of a stochastic approximation of the Generalized Cross-Validation index for the selection of the regularization parameter. Then, we focus on the partial observability characteristics of the data and study the proposed methodology on simulated datasets corresponding to different observability patterns. We get good results also in complicated scenarios due to the shape of the domain or the complexity of the signal. Finally, we consider an application to the lake surface water temperature data (LSWT) accessible from the ARC Lake project database. These data are characterized by a high proportion of missing data whose reconstruction is of great importance for climate studies.

In questa tesi sviluppiamo una particolare tecnica di regressione spazio-temporale con regolarizzazione differenziale e tramite questa tecnica analizziamo dati funzionali parzialmente osservati con dipendenza spaziale. Inoltre studiamo le proprietà asintotiche degli stimatori discreti del metodo provandone asintotica normalità e consistenza. Questo, per esempio, permette di costruire intervalli di confidenza approssimati. La tecnica proposta è particolarmente efficiente anche dal punto di vista computazionale grazie all'utilizzo dell'identità matriciale di Woodbury che permette una riscrittura conveniente del sistema coinvolto nel problema di stima e all' introduzione di un' approssimazione stocastica dell'indice di Cross-Validazione Generalizzato per la selezione del parametro di regolarizzazione. Ci concentriamo poi sulla caratteristica di parziale osservabilità del dato e studiamo la metodologia proposta su dataset simulati corrispondenti a diversi pattern di osservabilità. Otteniamo buoni risultati anche in scenari complicati per forma del dominio o complessità del segnale. Infine consideriamo l'applicazione ai dati di temperatura superficiale dell'acqua dei laghi (LSWT) accessibili dal database del progetto ARC Lake. Questi dati sono caratterizzati da un elevato numero di dati mancanti la cui ricostruzione è di grande importanza per studi sul clima.