Tre tecniche per la ricerca del portafoglio ottimo : programmazione dinamica, martingale, BSDE

The terminal expected utility maximization problem lies as a prominent stochastic optimal control problem in Mathematical Finance: within a fixed time horizon investors with different preferences and risk aversions try to find the optimal portfolio strategy. In order to deal with this, three different techniques will be analysed: Dynamic Programming, Martingale Approach and Backward Stochastic Differential Equations (BSDE). The aim of this thesis is to present the main characteristics of these approaches and their application in a common probabilistic and financial framework. Particular attention will be given to the BSDE technique, the most recent and developed in many current articles and studies: two different existence and uniqueness theorems for the solution of BSDE with jumps will be proven and their use in our optimization problem will be highlighted. As for the first two approaches, we will present explicit results for the three main utility functions (power, logarithmic, exponential), whereas regarding the BSDE technique the logarithmic and exponential cases will be analyzed.

Nell'ambito della finanza matematica è di particolare rilevanza il problema della massimizzazione dell'utilità attesa derivante dalla ricchezza finale, nel quale si ricerca su un dato orizzonte temporale la strategia di portafoglio ottima per investitori caratterizzati da differenti preferenze e avversioni al rischio. Per affrontare questo problema sono state presentate tre diverse tecniche: Programmazione Dinamica, Approccio di Martingala e Equazioni Differenziali Stocastiche Retrograde (BSDE). Lo scopo della tesi è quello di descrivere in un ambiente modellistico comune le principali caratteristiche di questi tre approcci e il loro utilizzo per la ricerca della strategia di portafoglio ottima. Particolare attenzione sarà posta sulla tecnica delle BSDE, la più recente e attualmente al centro di numerosi studi: saranno dimostrati due risultati di esistenza e unicità sulle soluzioni di BSDE e evidenzieremo il loro legame con il probema in analisi. Relativamente alle prime due tecniche otterremo risultati espliciti per le tre funzioni d'utilità principali (potenza, logaritmo, esponenziale), mentre per quanto concerne le BSDE analizzeremo i casi logaritmico e esponenziale.