Solving equations with programmable photonic integrated circuit

Equations are universally used to describe the fundamental characteristics of a system, and in particular integral and/or differential equations fulfill an essential role in the expression of most scientific and technological phenomena. Recently, optical analogue computing has been considered as a promising paradigm for achieving basic mathematical operations over a wavelength-comparable dimension chip. In this thesis work, it is presented a Photonic Integrated Circuit (PIC) based on a mesh of three Mach-Zehnder Interferometers acting as a programmable photonic equation solver. The photonic mesh is embedded in an array of feedback loops that induces the re-circulation of the input optical wave along the structure. A recursive system is thus implemented. As a specific case analysis, we show that the photonic circuit can be used to solve a system of three Fredholm integral equations of the second kind in the frequency domain. By using a constant input, the solution is found at the steady state at the entrance of the mesh. The mathematical discussion that the system implements an integral equation solver is offered. In particular, the effects of non-ideality of a realistic circuit are considered as impairments in the convergence to the ideal solution. Additionally, the concept that the optical circuit is able to solve also ordinary differential equations is suggested. In this case, the resolution is carried out by using a time variant input signal and the analytical solution is compared with the circuital response. The working principle of the proposed photonic architecture has been proved by numerical simulations. Comparisons between the analytical and numerical results have been performed to demonstrate the circuit’s ability of implementing a desired transformation. Moreover, a precise calibration algorithm is proposed for tuning the phase shifters, used to configure the tunable mesh, so that any unitary and arbitrary complex matrix can be implemented. The feasibility of the proposed approach has been demonstrated by preliminary results experimentally computed on a silicon photonic platform based photonic integrated circuit.

Le equazioni vengono universalmente utilizzate per esprimere la caratteristiche fondamentali di un sistema e, in particolare, le equazioni integrali e/o differenziali rivestono un ruolo essenziale nella descrizione della maggior parte dei fenomeni scientifici e tecnologici. Il risolutore ottico analogico è stato recentemente considerato come uno dei modelli più promettenti per la soluzione di semplici operazioni matematiche su chip di piccole dimensioni. In questa tesi, viene presentato un circuito fotonico integrato impiegato come risolutore riprogrammabile di equazioni. E’ costituito da una mesh ottica di interferometri di Mach-Zehnder incorporata in un array di feedback il quale permette la circolazione del segnale ottico in ingresso lungo la struttura. Un sistema ricorsivo è così implementato. Come caso specifico di analisi, viene mostrato come il circuito può essere usato per risolvere un sistema di tre equazioni integrali di Fredholm del secondo tipo. La soluzione viene riscontrata all'entrata della mesh nel dominio delle frequenze quando in ingresso è usato un segnale costante. La dimostrazione matematica, che il circuito implementa un sistema di equazioni integrali, è poi proposta. Particolare attenzione è stata fornita allo studio degli effetti non lineari del circuito reale che impediscono la convergenza del sistema verso la soluzione ideale. Inoltre, il concetto secondo il quale il circuito ottico è in grado di risolvere anche equazioni differenziali ordinarie è suggerito. In questo caso, il segnale di ingresso è tempo variante e la soluzione analitica è poi paragonata con la risposta circuitale. Il principio di funzionamento dell’architettura proposta è stato dimostrato da simulazioni numeriche che validano i concetti matematici discussi precedentemente. Importante è il paragone tra i risultati analitici e numerici poiché dimostra che il circuito ottico può implementare una qualsiasi trasformazione lineare desiderata. In aggiunta, uno specifico algoritmo per la calibrazione degli attuatori, usati per configurare la mesh, viene spiegato. Grazie a questa procedura una qualsiasi matrice unitaria con valori complessi casuali può essere implementata dalla mesh stessa. La fattibilità dell’approccio proposto è stata dimostrata da risultati preliminari calcolati sperimentalmente su un circuito integrato fotonico realizzato su piattaforma fotonica al silicio.