The averaging principle for stochastic differential equations and a financial application

In this thesis we study the averaging principle for slow-fast systems of stochastic differential equations. In particular in the first part we extend Khasminskii’s result in [10] to the non autonomous case assuming the Lipschitzianity and the sublinearity of the coefficients, an ergodic condition and some regularity of the fast component. In this setting we prove the weak convergence of the slow component to the solution of the averaged equation making use of the Khasminskii’s discretization techniques. In the second part of the thesis we propose a financial application of this result. In particular we apply the theory developed to a slow-fast local stochastic volatility model and we show that the prices of derivatives converge to the ones given by the averaged model which turns out to be a local volatility model. Moreover we prove that, in case of a slow-fast stochastic volatility model, the averaged model is a Black and Scholes.

In questa tesi studiamo il principio di media per sistemi lenti-veloci di equazioni differenziali stocastiche. In particolare, nella prima parte, estendiamo il risultato di Khasminskii in [10] al caso non autonomo, assumendo la sottolinearità e la Lipschitzianità dei coefficienti, una condizione ergodica e una certa regolarità della soluzione dell’equazione veloce. In questo framework dimostriamo la convergenza debole della soluzione dell’equazione lenta alla soluzione dell’equazione mediata, facendo uso delle tecniche di discretizzazione di Khasminskii. Nella seconda parte proponiamo un’applicazione finanziaria di tale risultato. In particolare lo applichiamo a un modello lento-veloce di volatilità locale stocastica e dimostriamo che i prezzi dei derivati convergono a quelli calcolati con il modello limite che si rivela essere un modello di volatilità locale. Inoltre mostriamo che, nel caso di un modello lento-veloce a volatilità stocastica, il modello limite è quello di Black and Scholes.