Calibrazione congiunta per opzioni scritte su indici S&P 500 e VIX

In this thesis two different financial models are proposed for the joint calibration of derivative products written on stock index and its volatility index. We provide the pricing formulae for the standard Heston model and the Heston model with stochastic vol-of-vol. Moreover, a formula for the price of options written on volatility index is introduced for the Heston two-factors model. In this way, it is possible to apply the joint calibration procedure to all these models and decide which is the best one. Finally, the calibration procedure is tested with a real example on S&P 500 and VIX data, using only Heston standard model and Heston stochastic vol-of-vol model.

In questa tesi si considerano due differenti modelli matematico-finanziari per la calibrazione congiunta di derivati sull'indice di stock e sul suo relativo indice di volatilità: vengono riportate le formule di pricing sotto il modello di Heston e il modello di Heston con vol-of-vol stocastica. Inoltre, viene introdotta una generalizzazione alternativa per il modello di Heston: il modello di Heston a due fattori sotto il quale viene presentato lo sviluppo teorico di una formula per la stima dei prezzi di opzioni scritte sul volatility index. In questo modo sarebbe possibile applicare a tutti i tre modelli considerati una procedura di calibrazione congiunta e stabilirne il più adatto. Infine si esemplifica tutto con una prova pratica sui dati dell'indice S&P 500 e il suo indice di volatilità VIX, senza però considerare il modello di Heston a due fattori. Nell'esempio con dati reali vengono infatti mostrati solamente i risultati ottenuti con il modello di Heston standard e con il modello di Heston con vol-of-vol stocastica.