Comparison of Eulerian and semi-Lagrangian discontinuous Galerkin methods for Vlasov-Poisson system

Plasma simulations are counted among the most demanding research topics in terms of both computational resources and expected accuracy for realistic applications. Thanks to its effectiveness in electromagnetic problems, Isogeometric analysis (IGA) has recently opened new attractive opportunities in the field. This master thesis explores the discretization of a simplified kinetic plasma model, whose non-linear system is composed of a 2D hyperbolic (Vlasov) and a 1D elliptic (Poisson) equation. The latter is treated via a classic Galerkin IGA method, while the former is solved according to two different grid-based approaches, having a discontinuous Galerkin finite elements solution space in common: the Eulerian, featuring a standard PDE mesh solver constrained by a CFL condition, and the semi-Lagrangian, where the characteristic curves play an important role in the time evolution, clearing any timestep restriction from the method. At first, we assess the stability and convergence of the implemented methods numerically. Then, we compare the performances in handling fast oscillating solutions on two benchmark test cases widely studied in literature. To this end, we primarily focus on the computational cost and the conservation of some discrete quantities over long time simulations, discovering that these aspects characterise the diverse methods the most. Otherwise, indeed, all the considered techniques yield results comparing well to those found in literature.

La simulazione del plasma figura tra i campi di ricerca che richiedono di più in termini sia di risorse computazionali sia di accuratezza necessaria per applicazioni realistiche. Grazie alla sua efficacia nel trattare problemi di elettromagnetismo, l'analisi isogeometrica (IGA) ha recentemente aperto nuove interessanti opportunità in questo campo. Questa tesi magistrale esplora la discretizzazione di un modello cinetico semplificato per il plasma, il cui sistema non lineare è composto da un'equazione iperbolica in 2D (Vlasov) e da una ellittica in 1D (Poisson). La seconda è trattata con un metodo di Galerkin isogeometrico classico, mentre la prima viene risolta attraverso due diversi approcci grid-based, accomunati da uno spazio agli elementi finiti per la soluzione di tipo Galerkin discontinuo: quello Euleriano, che presenta un solutore standard di EDP su griglia, vincolato da una condizione CFL, e quello semi-Lagrangiano, in cui le curve caratteristiche giocano un ruolo importante per l'evoluzione temporale, liberando il metodo da ogni restrizione sul passo di tempo discreto. Inizialmente, verifichiamo numericamente la stabilità e la convergenza dei metodi implementati. In seguito, confrontiamo la loro capacità di trattare soluzioni che oscillano velocemente tramite due test di riferimento ampiamente studiati in letteratura. A questo scopo, consideriamo principalmente il costo computazionale e la conservazione di alcune quantità discrete su simulazioni di lunga durata: si trova che sono questi aspetti a caratterizzare in misura maggiore i diversi metodi. D'altra parte, infatti, i risultati prodotti da tutte le tecniche considerate sono simili e confrontabili a quelli in letteratura.