A system of coupled Cahn-Hilliard equations

The present thesis is devoted to the mathematical analysis of a system of coupled Cahn-Hilliard equations, proposed to model the dynamics of certain mixtures of polymers. Although numerical simulations for this system are available, a theoretical investigation is still lacking, even in the framework of regular nonlinearities. The aim of the present thesis is to move the first steps towards a rigorous analysis of equations of this kind. In particular, here we consider a system which consists of a Cahn-Hilliard equation coupled with a Cahn-Hilliard-Oono equation. This system describes the dynamics of a mixture consisting of a diblock copolymer and a homopolymer. We consider a bivariate interaction potential including both a singular and a regular part. This choice is physically more relevant with respect to the original model, because the entropies of the mixtures are not approximated. On the other hand, this choice makes the mathematical analysis more challenging. We first prove the existence of a weak solution through a double approximation scheme. The Flory-Huggins potentials containing the mixing entropies are approximated by regular double-well potentials. The resulting approximating problem is then solved through a Galerkin scheme. Then we get the wanted weak solution by passing to the limit in the regularization parameters of the potentials. Once we have a weak solution, we prove that it is unique as a consequence of the continuous dependence on the initial data. Finally, we establish some regularization properties of the weak solution, which are essential steps towards further results (e.g. the long-time behaviour). The contents of the thesis are structured as follows. In Chapter 1, the context and the derivation of the Cahn-Hilliard equation, as well as its Oono variant, are presented. The coupled system and the related initial and boundary value problem are derived in Chapter 2. The well-posedness results and their functional setting are stated in Chapter 3 and proven in Chapter 4. The results about the regularization in finite time are stated and demonstrated in Chapter 5, while Chapter 6 is devoted to conclusions and future issues.

Il presente lavoro di tesi è dedicato all'analisi matematica di un sistema di equazioni di Cahn-Hilliard accoppiate, proposto per modellizzare la dinamica di alcune soluzioni polimeriche. Nonostante siano disponibili simulazioni numeriche per questo sistema, è ancora assente uno studio teorico, anche nel caso di nonlinearità regolari. L'obiettivo della tesi è di muovere i primi passi verso un'analisi rigorosa dei sistemi formati da equazioni di questo tipo. In particolare, trattiamo un sistema formato da un'equazione di Cahn-Hilliard accoppiata ad una di Cahn-Hilliard-Oono. Tale sistema descrive la dinamica di una miscela costituita da un copolimero a due blocchi e un omopolimero. Consideriamo un potenziale di interazione in due variabili, formato sia da una parte singolare sia da una regolare. Questa scelta è fisicamente più rilevante rispetto al modello originale, poiché le entropie di miscelazione non sono approssimate. Tuttavia, tale scelta rende l'analisi del sistema più complicata. Proviamo anzitutto l'esistenza di una soluzione debole tramite un doppio schema di approssimazione. I potenziali di Flory-Huggins contenenti le entropie di miscelazione sono approssimati da potenziali regolari a doppio pozzo. Il problema approssimante risultante è dunque risolto tramite uno schema di Galerkin. Si ottiene poi la soluzione debole cercata passando al limite sui parametri di regolarizzazione dei potenziali. Ottenuta una soluzione debole, proviamo che è unica tramite la dipendenza continua dai dati iniziali. Mostriamo infine alcune proprietà di regolarizzazione della soluzione debole, essenziali per ulteriori risultati (e.g. comportamento ai tempi lunghi). Il contenuto della tesi è così strutturato. Nel Capitolo 1 sono presentati il contesto e la derivazione dell'equazione di Cahn-Hilliard e di Oono. Il sistema accoppiato e i problemi al bordo e ai valori iniziali sono derivati nel Capitolo 2. I risultati di buona positura e la loro ambientazione funzionale sono enunciati nel Capitolo 3 e dimostrati nel Capitolo 4. I risultati sulla regolarizzazione in tempo finito sono trattati nel Capitolo 5, mentre il Capitolo 6 è dedicato alle conclusioni e a problematiche future.