Ruin probability estimation for an extended Cramer-Lundberg model with nonconstant jump intensity

This thesis focuses on the analysis of the ruin probability of an insurance company through the Cramér-Lundberg risk model. In particular, the idea is to use as a basis the surplus process introduced by Cramér, and to replace the Poisson process which models the claims arrivals with a process characterized by an intensity of jumps which is no longer constant during time and such that the arrival of a claim may cause the arrival of others. For this reason what are called branching processes are used, which normally describe the evolution of a population over time and that in this case are used to simulate the arrival of claims whether or not they are caused by others. The first chapter is the introduction, which places the Cramér-Lundberg risk model and its derived models in the literature, explains the objective of the work, with a particular focus on the simulation of the ruin probability in the case in which the theory of large deviations is used or not. The second chapter is the analysis of a particular branching process: the Hawkes process, which is characterized by a stochastic intensity which makes possible a "self-exciting" behaviour, that is, that every single arrival of claim can cause the arrival of others. The process is defined in its two classical representations, stationarity is briefly analyzed and finally the main simulation methods are described, with particular reference on the algorithm proposed by Dassios and Zhao which will then be used in the fifth chapter. Similarly to the previous one, the third chapter exposes the main features of the Galton-Watson model, the simplest branching process existing in the literature, with particular reference to the extinction of the process. Furthermore, the Galton-Watson model with immigration and the random indexed branching process are introduced, which will be used in the simulations of the sixth chapter. The fourth chapter exposes the Cramér-Lundberg risk model by defining the possible distributions of the processes that compose it. An analysis of the premiums is carried out if the model is based on a compound Hawkes process and finally it exposes all the possible ways by which the probability of ruin of the insurance company can be determined. The fifth chapter is based on a work by Stabile and Torrisi, who used the theory of large deviations to find the asymptotic probability of ruin in closed form. In particular, a simulation of the probability of ruin is carried out in two cases: using the change of measure obtained from Stabile and Torrisi, and with the original probability measure. These two methods are then compared with each other and with the Cramér-Lundberg upper bound to confirm the goodness of the results. The sixth chapter, similarly to the previous one, is aimed at simulating the probability of ruin. In this case the Galton-Watson model is initially used, which is then improved by replacing it with the random indexed branching process. Both cases are analyzed both in the case in which there is immigration and in the case in which there is not. In the seventh and last chapter the conclusions of the work carried out are drawn and how the analysis of the probability of ruin could be broadened through the Galton-Watson model in the event that the theory of great deviations is used.

Questa tesi è incentrata sull'analisi della probabilità di rovina di una compagnia assicurativa attraverso il modello di rischio di Cramér-Lundberg. In particolare, l'idea è di utilizzare come base il processo di surplus introdotto da Cramér, e di sostituire al processo di Poisson che modellizza l'arrivo dei claims, un processo per cui l'intensità dei salti non è più costante nel tempo e per cui l'arrivo di un claim possa causare l'arrivo di altri. Per questo motivo vengono utilizzati quelli che vengono chiamati branching processes, processi che normalmente descrivono l'evoluzione di una popolazione nel tempo e che in questo caso vengono usati per simulare l'arrivo dei claims nel caso siano o meno causati da altri claims. Il primo capitolo è l'introduzione, la quale colloca nella letteratura il modello di Cramér-Lundberg ed i suoi modelli derivati, spiega l'obiettivo del lavoro, con un focus particolare sulla simulazione delle probabilità di rovina nel caso in cui la teoria delle grandi deviazioni venga o meno utilizzata. Il secondo capitolo è un'analisi di un particolare branching process: il processo di Hawkes, il quale è caratterizzato da un'intensità stocastica che rende possibile un comportamento "auto-alimentante", ossia che ogni singolo arrivo di un claim ne può causare altri. Il processo viene definito nelle sue due classiche rappresentazioni, viene brevemente analizzata la stazionarità ed infine vengono descritti i principali metodi di simulazione, con particolare riferimento all'algoritmo introdotto da Dassios e Zhao che verrà poi utilizzato nel quinto capitolo. In modo simile al precedente, il terzo capitolo espone le caratteristiche principali del modello di Galton-Watson, il più semplice branching process esistente in letteratura, con particolare riferimento all'estinzione del processo. Inoltre vengono introdotti il modello di Galton-Watson con immigrazione e il random indexed branching process, i quali verranno utilizzati nelle simulazioni del sesto capitolo. Il quarto capitolo espone il modello di rischio di Cramér-Lundberg definendo le possibili distribuzioni dei processi che lo compongono. Viene effettuata un'analisi dei premi nel caso in cui il modello sia basato su un compound Hawkes process ed infine espone tutti i possibili modi con cui può essere determinata la probabilità di rovina della compagnia assicurativa. Il quinto capitolo si basa su un lavoro di Stabile e Torrisi, i quali hanno utilizzato la teoria delle grandi deviazioni per trovare in forma chiusa la probabilità di rovina asintotica. In particolare viene condotta una simulazione della probabilità di rovina in due casi: utilizzando il cambio di misura ottenuto da Stabile e Torrisi, e con la misura di probabilità originale. Questi due metodi vengono quindi confrontati tra loro e con il Cramér-Lundberg upper bound per avere conferma della bontà dei risultati. Il sesto capitolo, in modo simile al precedente, è volto alla simulazione della probabilità di rovina. In questo caso viene inizialmente utilizzato il modello di Galton-Watson, il quale viene poi migliorato sostituendo ad esso il random indexed branching process. Entrambi i casi sono analizzati sia nel caso in cui ci sia immigrazione, sia nel caso in cui non ci sia. Nel settimo e ultimo capitolo vengono tratte le conclusioni del lavoro svolto e viene spiegato come potrebbe essere ampliata l'analisi della probabilità di rovina attraverso il modello di Galton-Watson nel caso in cui venga utilizzata la teoria delle grandi deviazioni.