A modern non-deterministic approach for solving PDEs. Machine learning applied to the Navier-Stokes equations

A very large variety of phenomena in natural sciences and engineering are modelled through Partial Differential Equations (PDEs). In spite of already being the mathematical expression of a simplified model, most PDEs cannot be solved analytically and, therefore, are approximated with numerical methods, which are traditionally based on a domain discretization. Nowadays, new possible solution techniques arise from the Artificial Intelligence (AI) sphere, thanks also to the increasing importance and applicability that Machine Learning (ML) has been demonstrating among very different fields, such as image recognition, natural language processing, user behaviour analytics and many others. In particular, Artificial Neural Networks (ANNs) have recently been exploited to solve several PDEs, such as the well-known Navier-Stokes equations. However, due to this approach novelty, the concerning scientific literature is, although emerging, meagre up to now. The following Master's thesis aims to rigorously cover the computational aspects of ANNs when applied to any PDE with a generic domain, by highlighting their advantages and drawbacks with respect to established techniques such as finite element (FEM), finite volume (FVM) and finite difference methods (FDM). To that end, increasingly difficult PDEs are numerically solved on 1D and 2D domains using the most advanced state-of-the-art algorithms for ANNs (TensorFlow 2) and for domain meshing techniques (FEniCS), until the unsteady Navier-Stokes equations are eventually treated. The carried out numerical simulations confirms that meshing methods outperform ANNs for lower-dimension domains, even if the latter become competitive when very complex geometries are taken into account. On the contrary, for higher-dimension problems, meshing techniques could even be infeasible. In conclusion, a very wide overview of potential applications is presented, with some suggestions about possible further developments.

La quasi totalità dei fenomeni nell'ambito delle scienze naturali e dell'ingegneria viene modellata per mezzo delle Equazioni alle Derivate Parziali (PDE). Nonostante quest'ultime rappresentino già l'espressione matematica di un modello semplificato, comunemente le PDE non sono risolubili per via analitica e, per questo motivo, esse vengono generalmente approssimate con metodi numerici, gran parte dei quali, tradizionalmente, si basa sulla discretizzazione del dominio. Tuttavia, oggigiorno, emergono nuove possibili soluzioni dalla branca dell'Intelligenza Artificiale (AI), grazie anche alla crescente importanza e versatilità che le tecniche di Machine Learning (ML) hanno dimostrato in differenti rami, come il riconoscimento di immagini, l'elaborazione del linguaggio naturale, l'analisi del comportamento e molti altri ancora. In particolare, le Reti Neurali Artificiali (ANN) sono state recentemente utilizzate per la risoluzione di alcune PDE, come, ad esempio, le ben note equazioni di Navier-Stokes. Ciononostante, a causa dell'attualità di questo approccio, la letteratura scientifica relativa è, sebbene emergente, molto scarna al giorno d'oggi. La seguente Tesi Magistrale si prefigge l'obiettivo di coprire gli aspetti computazionali delle ANN quando queste vengono applicate ad una qualsiasi PDE con un dominio generico, evidenziando i vantaggi e gli svantaggi rispetto a tecniche ormai consolidate come il Metodo agli Elementi Finiti (FEM), il Metodo ai Volumi Finiti (FVM) e il Metodo alle Differenze Finite (FDM). A tal scopo, vengono risolte numericamente PDE di difficoltà sempre crescente, sia su domini monodimensionali che bidimensionali, utilizzando gli algoritmi più avanzati allo stato dell'arte per le ANN (TensorFlow 2) e per le tecniche tradizionali di discretizzazione (FEniCS), arrivando infine a risolvere le equazioni di Navier-Stokes instazionarie. Le simulazioni numeriche effettuate confermano che i metodi tradizionali sono molto più efficienti delle ANN per domini di dimensioni ridotte, anche se quest'ultime si dimostrano competitive quando vengono prese in considerazione geometrie assai complesse. Al contrario, per problemi multidimensionali, le tecniche di discretizzazione del dominio possono diventare addirittura inattuabili. In conclusione, viene presentata una rassegna generale delle possibili applicazioni con alcuni suggerimenti per eventuali sviluppi futuri.