Methods for voting and ranking. From classical to new models

The theory of Social Choice deals with the problem of aggregating preferences: given a set of alternatives and a set of agents (players, voters, judges) expressing their preferences on the alternatives (i.e. ranking the alternatives), the problem is to find a unique ranking which is "representative" of the individual ranking. Of course, it is difficult to formalize what representative means, and one way to tackle the problem is to consider some properties that such a black box, where the input is a profile of rankings and the output is a ranking (or at least a winner, i.e. an alternative superior to all other ones) should have. This black box, called either Social Welfare Function (if the output is a ranking) or Social Choice Function (if the output is a single alternative) is thus the main object of Social Choice, and an ideal situation is when some known, or widely used, or newly defined Social Function is characterized by a small set of reasonable and easily interpreted Properties. This work starts with a look at the two results which are the cornerstones of the classical Social Choice: the impossibility theorems by Arrow and Gibbard-Satterthwaite. Then the first part concludes considering classical methods of forming social ranking, like the Condorcet, Borda and Daunou methods, highlighting their properties and their differences. In the second part, the focus shifted to the more recent model built by Balinski and Laraki, the so-called Majority Judgement, analysing its strengths and weaknesses in relation to the above mentioned models. In the third part Fishburn's theorem, which has some connections with Arrow's impossibility theorem, was initially analysed and then it has been demonstrated that the majority judgement method can be axiomatized through Fishburn's result. Finally, a brief analysis of the case recently studied to move from the rankings to the sub-sets of a set to the elements of the set is carried out, observing that this approach can be seen in the framework of a problem of social choice, using the sub-sets themselves as judges (or voters).

La teoria della Scelta Sociale affronta il problema dell'aggregazione delle preferenze: dato un insieme di alternative e un insieme di agenti (giocatori, elettori, giudici) che esprimono le loro preferenze sulle alternative (cioè la classifica delle alternative), il problema è trovare una classifica unica che sia "rappresentativa" della classifica individuale. Naturalmente, è difficile formalizzare il significato di "rappresentativo", e un modo per affrontare il problema è quello di considerare alcune proprietà che una tale scatola nera, dove l'input è un profilo delle classifiche e l'output è una classifica (o almeno un vincitore, cioè un'alternativa superiore a tutte le altre) dovrebbe avere. Questa scatola nera, chiamata o Funzione Social Welfare (se l'output è una classifica) o Funzione Social Choice (se l'output è un'unica alternativa) è quindi l'oggetto principale della Social Choice, e una situazione ideale è quando alcune funzioni sociali note, o ampiamente utilizzate, o di nuova definizione sono caratterizzate da un piccolo insieme di proprietà ragionevoli e facilmente interpretabili. Questo lavoro inizia con uno sguardo ai due risultati che sono le pietre miliari della classica Scelta Sociale: i teoremi dell'impossibilità di Arrow e Gibbard-Satterthwaite. Poi la prima parte si conclude considerando i metodi classici di formazione della classifica sociale, come i metodi Condorcet, Borda e Daunou, evidenziandone le proprietà e le differenze. Nella seconda parte, l'attenzione si è spostata sul modello più recente costruito da Balinski e Laraki, il cosiddetto giudizio di maggioranza, analizzandone i punti di forza e di debolezza in relazione ai modelli sopra citati. Nella terza parte è stato analizzato inizialmente il teorema di Fishburn, che ha alcune connessioni con il teorema di impossibilità di Arrow, e successivamente è stato dimostrato che il metodo del giudizio di maggioranza può essere assiomatizzato attraverso il risultato di Fishburn. Infine, viene effettuata una breve analisi del caso recentemente studiato per passare dalle classifiche ai sottoinsiemi di un insieme agli elementi dell'insieme, osservando che questo approccio può essere visto nel quadro di un problema di scelta sociale, utilizzando i sottoinsiemi stessi come giudici (o elettori).