Topology optimization for flow problems using level set and density methods

Topology optimization plays an important role in finding the best use of available resources. There are numerous methods to perform topology optimization. So, it is important to assess the performances of the different approaches, highlighting the strengths and the weaknesses of each. In this work, the density method and the level set method are discussed, presenting the main features and numerical results for a flow problem. In fluid dynamics, topology optimization translates into finding the best geometry possible for the fluid channels, that minimizes an objective functional, which in our work is the viscous dissipation under the constraint of Navier Stokes equations. This work starts giving an overview of the mathematical background of shape calculus, which allows to define the concepts of shape gradient and topological derivative. The analytical effort is justified by the need to motivate the modified Hamilton-Jacobi model implemented in the level set framework. The density method is implemented, using the dolfin-adjoint package in FEniCS, which allows to partially automate the optimization procedure. For the level set method, the derived analytical expressions of the shape gradient and topological derivative are necessary. Then, the optimization algorithm, based on the modified Hamilton-Jacobi approach, is coded in FEniCS. The goal is to assess the two methodologies. From numerical results, this work concludes that the level set method is better in solving the physical model and in distinguishing the solid region from the fluid one, while the density method is more able of respecting the volume constraint and it is less computationally demanding.

L’ottimizzazione topologica gioca un ruolo importante nella ricerca del miglior utilizzo delle risorse disponibili. Esistono numerosi metodi per eseguire l’ottimizzazione. Quindi, è importante valutare le prestazioni dei diversi approcci, evidenziando vantaggi e svantaggi di ciascuno. In questo lavoro vengono discussi il metodo della densità e il metodo basato sul level set, presentando le caratteristiche metodologiche e discutendo risultati numerici per il problema della dissipazione viscosa. In fluidodinamica, l’ottimizzazione della topologia si traduce nella ricerca della migliore geometria possibile per i canali in cui scorre il fluido, allo scopo di minimizzare una funzione obiettivo. In particolare, in questa tesi, lo scopo è minimizzare la dissipazione viscosa sotto il vincolo delle equazioni di Navier Stokes. Questo lavoro inizia fornendo una panoramica del background matematico riguardo la derivata di forma e la derivata topologica, cruciali per l’implementazione del metodo di level set. I risultati analitici sono inseriti nell’equazione modificata di Hamilton-Jacobi, che rappresenta il modello centrale nel metodo di level set. Il metodo è codificato nella piattafroma computazionale FEniCS. Per quanto riguarda, invece, il metodo della densità, i concetti analitici di derivata topologica e di forma non sono necessari, perchè il metodo è implementato utilizzando il pacchetto dolfin-adjoint in FEniCS, che consente di automatizzare parzialmente la procedura di ottimizzazione. L’obiettivo è valutare le due metodologie. Dai risultati numerici, questo lavoro conclude che il metodo del level set è migliore nel risolvere il modello fisico e nel distinguere la regione solida da quella fluida, mentre il metodo della densità è più accurato nel rispettare il vincolo di volume ed è meno dispendioso dal punto di vista computazionale.