A coupled scheme for the solution of parabolic problems on unbounded domains

We discuss the discretization of parabolic equations on unbounded domains by means of a spectral approach based on scaled Laguerre basis functions. Starting from the 1D advection-diffusion model problem on the positive half line, a stability analysis is first carried out: we examine several possible choices for the spatial discretization analyzing the spectrum of the corresponding matrix to determine which scheme has the best stability properties. The semi-infinite domain is then decomposed into an unbounded region, where the chosen method is employed, and a bounded one, where the problem is numerically solved using a discontinuous finite element method. A number of tests of linear and nonlinear wave propagation are carried out, showing that spurious reflections at the interface between the two subdomains are small, so that the resulting coupled approach is an efficient tool to model diffusion over arbitrarily large regions. Moreover, if a damping term is implemented in the semi-infinite part, outgoing signals are efficiently absorbed even with a small number of spectral modes, so that the proposed scheme can also be employed to efficiently implement an absorbing layer attached to the finite region of interest. The resulting setup is a computationally cheap alternative to traditional absorbing layer techniques, which usually require a large number of discretization nodes to absorb perturbations leaving the bounded domain. The thesis provides a novel extension to the parabolic case of existing stability and efficiency analyses of the same numerical setup for hyperbolic problems.

In questa tesi si discute la discretizzazione, tramite un approccio spettrale, di equazioni differenziali a derivate parziali di tipo parabolico definite in domini illimitati. Assumendo come problema modello l'equazione di diffusione-trasporto unidimensionale su una semiretta, si conduce dapprima un'analisi di stabilità per determinare il migliore schema da adottare per la discretizzazione in spazio. In seguito, si decompone il dominio semi-infinito in una regione illimitata, dove il problema è risolto numericamente tramite il metodo precedentemente determinato, e una limitata, in cui si adotta uno schema agli elementi finiti discontinui. Si mostra che le riflessioni spurie all'interfaccia tra i due sottodomini sono trascurabili, così che lo schema accoppiato risulta essere un efficace strumento per modellare fenomeni di diffusione su domini con scale spaziali arbitrariamente grandi. Inoltre, implementando un termine di smorzamento nella sezione semi-infinita, le perturbazioni uscenti dalla regione limitata di interesse sono assorbite anche utilizzando un numero ridotto di modi spettrali; in questo modo, il modello accoppiato proposto può essere utilizzato anche per implementare in modo efficiente uno strato assorbente all'esterno del dominio in cui l'equazione viene risolta. Tale approccio risulta così essere un'efficiente alternativa agli strati assorbenti tradizionali, che spesso richiedono l'utilizzo di un gran numero di nodi e risultano pertanto essere dispendiosi dal punto di vista computazionale. Questa tesi presenta l'estensione al caso parabolico dei risultati di stabilità ed efficienza dello stesso approccio numerico, già studiati in letteratura nel caso iperbolico.