The viscous nonlocal Cahn-Hilliard-Oono equation with logarithmic potential

Phase separation phenomena in binary systems (for instance in a metal alloy) can be described by a fourth-order nonlinear evolution equation known as Cahn-Hilliard equation. This thesis concerns the analysis of a nonlocal variant of the Cahn-Hilliard equation with constant mobility in a bounded domain. More precisely, we introduce and study a second order integro-differential equation with the addition of a reaction term and a viscosity term. The former accounts for possible chemical reactions, like in the standard Cahn-Hilliard-Oono equation. In particular, the mass conservation does not necessarily hold. The latter accounts for possible microforces and it allows to reduce the system to a nonlocal ordinary differential equation. In this framework, we are able to prove: • existence of a unique solution; • dissipative energy estimates; • continuous dependence from initial data. To show these results, it is sufficient to consider integrable interaction kernels. However, in order to prove spatial regularization of the solution, we need a stronger assumption, namely, the kernel must also have integrable derivatives. In this case, we are guaranteed to find a solution without any jumps, because we are considering a diffuse interface model. In particular, we are able to prove the following results: • regularity in finite time; • existence of a connected global attractor; • strict separation property from the pure states +1 and -1; • existence of an exponential attractor; • an error estimate w.r.t. the viscosity coefficient between the solutions to the viscous and the nonviscous problems. All the results of the thesis hold in three spatial dimensions; differently from the nonviscous case for which, for instance, the strict separation property has been proven only in two dimensions.

I fenomeni di separazione di fase nei sistemi binari (ad esempio in una lega metallica) possono essere descritti dall'equazione evolutiva nonlineare del quarto ordine conosciuta come equazione di Cahn-Hilliard. Questa tesi riguarda l'analisi di una variante nonlocale dell'equazione di Cahn-Hilliard con mobilità costante e in un dominio limitato. Più precisamente, introduciamo e studiamo un'equazione integrodifferenziale del secondo ordine con l'aggiunta di un termine di reazione e un termine di viscosità. Il primo termine tiene conto di possibili reazioni chimiche, come nell'equazione di Cahn-Hilliard-Oono. In questo caso, non è necessariamente verificata la conservazione della massa. Il secondo termine tiene conto di possibili microforze e rende possibile ridurre il sistema a una equazione differenziale ordinaria nonlocale. In questo contesto, dimostriamo: • esistenza di un'unica soluzione; • alcune stime dissipative dell'energia; • dipendenza continua dai dati iniziali. Per mostrare questi risultati è sufficiente considerare nuclei di interazione integrabili. Tuttavia, per poter dimostrare una regolarizzazione spaziale della soluzione, sono necessarie assunzioni più forti, ovvero il nucleo deve avere derivate integrabili. In questo caso, siamo certi di trovare una soluzione senza salti, poiché stiamo considerando un modello a interfaccia diffusa. In particolare, siamo in grado di dimostrare i seguenti risultati: • regolarità in tempo finito; • esistenza di un attrattore globale connesso; • proprietà di separazione stretta dagli stati di fase pura +1 e -1; • esistenza di un attrattore esponenziale; • una stima dell'errore rispetto al coefficiente di viscosità tra le soluzioni per il problema viscoso e non viscoso. Tutti i risultati ottenuti nel lavoro sono validi in tre dimensioni; differentemente dal caso non viscoso, per il quale, per esempio, la proprietà di separazione stretta è stata mostrata solo in due dimensioni.