The fractional laplacian and a nonlinear evolution equation

In this thesis I will mainly focus on the analysis of the fractional Laplacian, an operator which is playing a significant role in the study of various physical phenomena among other applications. I will first show the proof (or disproof) of an "integrationby- parts" formula involving the aforementioned operator which has been performed in large part in the literture. Moreover I will improve the knowledge on the validity of the latter by providing explicit counterexamples. Finally I will devote my attention on a weighted and non-local version of the Porous Medium Equation (PME for short) and I will prove a smoothing Lp-Linfinity estimate for its solution, along with an Linfinity bound in space which involves elementary functions of time.

In questa tesi mi focalizzerò principalmente sull’analisi del Laplaciano frazionario, un operatore che sta giocando un ruolo significativo nello studio di vari fenomeni fisici, tra le varie applicazioni. Dapprima mostrerò la validità (o meno) di una formula del tipo "integrazione-per-parti" che coinvolge il suddetto operatore e che è già stata affrontata in gran parte nella letteratura. In aggiunta proverò io stesso che la formula non vale per un certo range di valori che non è stato ancora trattato. Infine mi concentrerò sull’analisi di una versione pesata e non-locale dell’Equazione dei Mezzi Porosi (PME in breve), dimostrando una stima di regolarizzazione di tipo Lp-Linfinity per la soluzione della suddetta, assieme ad un’ulteriore stima per la sua norma infinito in spazio che coinvolge funzioni elementari del tempo.