The Kronecker-Weber theorem

The Kronecker-Weber theorem posits that every finite abelian extension of the field of rationals lies within a cyclotomic extension. It was first formulated in 1853 by Leopold Kronecker and continued by Heinrich Weber in 1886 (though it was still incomplete). Our own demonstration of the theorem relies on a proper reduction to the case of the field of p-adic numbers, where the structure of fields is easy to handle. This thesis first and foremost aims to understand and explain this structure. To this end, we first state some general results around the Galois theory, Euclidean geometry, or Kummer theory, and expand then on the theory of ramification up to the p-adic fields. We conclude with the demonstration of the Kronecker-Weber theorem on this basis.

Il teorema di Kronecker-Weber postula che ogni estensione abeliana finita di il campo dei razionali si trova all'interno di un'estensione ciclotomica. È stato inizialmente formulato nel 1853 da Leopold Kronecker e continuata da Heinrich Weber nel 1886 (sebbene fosse ancora incompleta). La nostra dimostrazione del teorema si basa su una riduzione appropriata al caso del campo dei numeri p-adici, dove la struttura dei campi è facile da maneggiare. Questa tesi mira innanzitutto a comprendere e spiegare questa struttura. A tal fine, prima enunciamo alcuni risultati generali la teoria di Galois, la geometria euclidea o la teoria di Kummer, per poi espandere sulla teoria della ramificazione fino al campo dei numeri p-adici. Concludiamo con la dimostrazione del teorema di Kronecker-Weber su questa base.