Einstein's field equations : derivations and solutions

In 1916 Einstein published his General Relativity paper, the completion of the previous 1905 article on Special Relativity. General Relativity is not only a beautiful theory of gravity, but it has also opened a large branch of Mathematics. In this thesis, the so called Einstein's Field Equations (EFE) are treated. In chapter 1 the mathematical setting is developed: the standard Euclidean space is no longer sufficient, but one needs to work on manifolds and tensors defined on them. In chapter 2, after a short introduction on Special Relativity, the Einstein's Field Equations are derived in two different ways: generalizing the standard Newton's gravitational law, and using the principle of least action applied to the Einstein-Hilbert action. Chapter 3 is devoted to solutions of the EFE. First of all we try to model the expansion of our universe, assuming homogeneity and isotropy, with three models of increasing complexity. Then we analyse the solution outside a static and spherically symmetric body, known as Schwarzschild metric. Finally, in the last chapter, we will see that, if the metric satisfy some constraint equations, the EFE not only admits a solution, but it is also unique.

Nel 1916 Eintein pubblicò il suo articolo sulla Relatività Generale che rappresenta la naturale conclusione del suo precedente lavoro, pubblicato nel 1905, sulla Relatività Speciale. La Relatività Generale non è solo una straordinaria teoria sulla gravità, ma ha anche aperto la strada a nuove branche della Matematica. In questa tesi verranno studiate le equazioni di campo di Einstein, il cuore di tutta la teoria. Nel capitolo 1 verranno sviluppati gli strumenti matematici necessari: il tradizionale spazio euclideo non è più sufficiente, ma vi è la necessità di lavorare su varietà e con tensori definiti su di esse. Nel capitolo 2, dopo una breve introduzione alla Relatività Speciale, si procede con la derivazione delle equazioni di campo, con due approcci differenti: generalizzando la legge di gravitazione di Newton e applicando il principio di minima azione all'azione di Einstein-Hilbert. Il capitolo 3 è dedicato alle soluzioni delle equazioni. Verrà analizzato il problema dell'espansione del nostro universo, assumendo omogeneità e isotropia, mediante tre modelli di complessità crescente. Successivamente verrà presentata la soluzione all'esterno di un corpo statico e a simmetria sferica; tale soluzione è nota come metrica di Schwarzschild. Infine, nell'ultimo capitolo, si mostrerà che, se la metrica soddisfa ulteriori vincoli, le equazioni di Einstein non solo ammettono soluzione, ma essa è anche unica.