Mathematical models and numerical methods for cardiac poromechanics

Cardiac perfusion describes the heart’s blood supply, which arrives through a complex network of vessels that surround it, known as coronary vessels. The mathematical modeling of this process involves the solution of complex multi-physics problems, which considers on one side the coronary vessels and on the other side the heart tissue, which is divided into the tissue itself and the porous structure induced by the ramifications of the vessels. This composition motivates the use of poromechanics models for its accurate approximation. This thesis serves two goals. The first one is the creation of an adequate framework for the development of efficient numerical methods for the poromechanics problem; the second one is the construction of an efficient numerical strategy which embeds cardiac perfusion into a coupled full-heart simulation. We focus first on the analysis of a linearized problem, at both continuous and discrete levels. Its study reveals a saddle point structure in which the incompressibility constraint consists in a sum of the velocity of both fluid and solid phases, weighted by the material porosities. We show that the use of a Taylor-Hood type of finite elements is inf-sup stable. After this, we develop splitting schemes for the linearized problem, for which we adapt classic splitting schemes from Biot’s consolidation model and provide the corresponding convergence analysis. For the perfusion model, we consider the coronary vessels as a network of 0D elements, where we extend the existing lumped models to allow them to handle arbitrary combinations of boundary conditions and study its numerical properties. Poromechanics models strongly depend on constitutive modeling. In this respect, we present a novel decomposition of the energy, which takes the form of a barrier func- tion for the porosity. Then, we present a comprehensive comparison of nonlinear solvers for the poromechanics problem under consideration. Finally, we propose solving the coupled perfusion problem through a fixed point scheme, and test our methods on the realistic ventricle geometry provided by Zygote by decoupling model governing the mechanical deformation of the heart. Through our work, we give guidelines for efficient and robust strate- gies for the numerical approximation of linear poromechanics, as well as provide promising preliminary results for the nonlinear scenario. We then propose a novel poromechanics modeling framework which is able to reproduce physiological conditions of a healthy heartbeat, and thus presents a powerful tool for the efficient creation of in-silico models.

La perfusione cardiaca descrive l’afflusso di sangue del cuore, il cui arriva attraverso una complessa rete di vaso che lo circondano, conosciuta come vasi coronarici. La modellistica matematica di questo fenomeno coinvolge la soluzione di complessi fenomeni multi-fisici, che considerano da un lato i vasi, e dall’altro il tessuto cardiaco. Esso viene diviso a sua volta nel tessuto stesso e nella struttura porosa indotta dalle ramificazioni dei vasi. Questa composizione è la principale motivazione per l’utilizzo di modelli poromeccanici, che considerano il cuore come un continuo in cui coessistono muscolo e sangue. Questa tesi ha due obbiettivi. Il primo è quello di costruire un marco teorico adeguato per lo sviluppo di solutori efficenti per il problema poromeccanico; il secondo è la costruzione d’una strategia numerica che permetta l’integrazione della perfusione cardiaca in un modello di cuore completo. Ci focalizziamo nell’analisi d’un problema linearizzato sia a livello continuo che discreto. Questo studio rivela un’interessante struttura di punto sella, in cui il vincolo di incomprimibilità consiste nella somma delle velocità fluida e solida, pe- sate per la porosità del materiale, e mostriamo che l’utilizzo di spazi di elementi finiti di tipo Taylor-Hood garantiscono la stabilità inf-sup di questo modello. Dopo questo, sviluppiamo schemi di disaccoppiamento per il problema linearizzato, per cui adattiamo gli schemi fixed-stress e undrained ampiamente usati per la soluzione del modello di consolidazione di Biot e dimostriamo che, cosı̀ come in Biot, sono incondizionatamente convergenti. Per quanto riguarda il modello di perfusione, consideriamo i vasi coronarici come una rete di elementi 0D, dove estendiamo la teoria classica di modelli di Navier-Stokes ridotti per renderli flessibili nel utilizzo di diverse condizioni di bordo, e poi studiamo le loro proprietà numeriche. I modelli poromeccanici dipendono fortemente della modellistica costitutive, per cui presentiamo una nuova decomposizione del energia, che ha la forma d’una funzione di barriera per la porosità. Poi, presentiamo uno studio comparativo di solutori nonlineari per il problema poromeccanico considerato. Finalmente, proponiamo risolvere il problema accoppiato tramite uno schema di punto fisso, e proviamo i nostri metodi nella geometria realistica di ventricolo fornita da Zygote. Un’ipotesi fondamentale è quella di dis- accoppiare la meccanica, che permette di calcolare la deformazione in una prima fase, e poi utilizzare essa per le simulazioni di perfusione.