An alternative proof for Cauchy's theorem on surfaces and in the Euclidean space

In Continuum Mechanics, one of the most important issues is to determine the stresses acting between different parts of a body. Cauchy’s theorem proves the existence of a tensor field, the Cauchy stress tensor which, provided the stresses acting on three mutually perpendicular planes, allows the computation of the stress on a generic surface. However when we are in non-Euclidean spaces the proof of Cauchy’s theorem and the study of stresses in a body need a change in perspective. Beginning with Gurtin and Murdoch’s article (1974) we study the mechanics of surfaces, both with the notation used in this article and employing the notation of classical tensor calculus. On surfaces, as a consequence of their not being Euclidean spaces, a classical proof for Cauchy’s theorem cannot be employed. In this framework, we show an alternative proof, which does not involve the concept of unit normal to a given curve, but instead uses the tangent vector to the curve itself. This proof leads us to reproduce the same technique in a three-dimensional Euclidean framework. Hence, taking inspiration from the idea proposed by Segev (2000) and by Marsden et al (2007), we present an alternative proof for Cauchy’s theorem in the three-dimensional Euclidean space exploiting the concept of tangent plane to a given surface, and without using its unit normal. This proof results in the existence of a third-order tensor playing the same role as the classical second-order Cauchy’s stress tensor. Furthermore, in the three-dimensional framework, a relation between these two is proven. Léon Brillouin’s book "Les tenseurs en Mécanique et en Elasticité" is one of the few works describing the nature of the stress as a third-order tensor.

Nella Meccanica dei Continui una delle questioni più importanti, è quella di determinare gli sforzi agenti tra le diverse parti di un corpo. Il teorema di Cauchy dimostra l’esistenza di un campo tensoriale, conosciuto come tensore degli sforzi di Cauchy che, noti gli sforzi agenti su tre piani mutuamente ortogonali, permette di calcolare lo sforzo su una qualsiasi superficie. Tuttavia, quando ci troviamo in spazi non euclidei, la dimostrazione del teorema di Cauchy e lo studio degli sforzi all’interno di un corpo hanno bisogno di un cambio di prospettiva. Partendo dall’articolo di Gurtin e Murdoch (1974), studiamo la meccanica delle superfici, sia con la notazione usata nell’articolo che con quella tipica del calcolo tensoriale. Sulle superfici, essendo esse spazi non euclidei, non si può replicare la dimostrazione classica del teorema di Cauchy. In questo contesto, mostriamo una dimostrazione alternativa, che non coinvolge il concetto di normale a una data curva, ma, invece, utilizza il vettore tangente. Questa dimostrazione ci suggerisce di riprodurne una analoga nello spazio tridimensionale euclideo. Quindi, prendendo spunto dall’idea proposta da Segev (2000) e da Marsden et al. (2007), presentiamo una dimostrazione alternativa per il teorema di Cauchy nello spazio euclideo tridimensionale utilizzando il concetto di piano tangente a una superficie e non la sua normale. Questo ci dà come risultato l’esistenza di un tensore degli sforzi del terzo ordine che ricopre la stessa funzione del classico tensore di Cauchy del secondo ordine. Per di più, nello spazio tridimensionale euclideo, questi due tensori vengono collegati da una relazione. Léon Brillouin nel libro "Les tenseurs en Mécanique et en Elasticité" è uno dei pochi a descrivere gli sforzi attraverso un tensore del terzo ordine.