Variational solutions of the linearized Boltzmann equation for thermal-driven gas flows in microchannels

The aim of this dissertation is to provide analytical/semi-analytical solutions of the linearized Boltzmann equation in microchannels. In particular, the variational method proposed by Carlo Cercignani in 1969 is proved to be a particularly useful technique for writing down simple approximate closed-form solutions of the Boltzmann equation in order to use them in applications. Since, so far, the effect of thermal gradients on micro-electro-mechanical system (MEMS) devices has not been extensively investigated, in this thesis, the temperature-driven (thermal creep) gas flows are analyzed in the whole range of the Knudsen number (defined by the ratio of the molecular mean free path to a characteristic length of the system). We have applied the variational method directly to the integrodifferential form of the Boltzmann equation based on a simplified kinetic model, the Bhatnagar, Gross, and Krook (BGK) model and on the true linearized collision operator for hard-sphere molecules. General boundary conditions (the Maxwell model and the Cercignani-Lampis scattering kernel) have been considered to take into account different types of molecular interactions between gas-solid interfaces. In the case of low rarefaction level, the gas flow can be still simulated in the frame of the continuum modeling based on the Navier-Stokes-Fourier system. However, the implementation of special boundary conditions is necessary to take into account the rarefaction effects. These conditions involve the thermal-slip coefficients which depend on the gas-solid surface interaction through the accommodation coefficients. A second-order slip model for the temperature-driven (thermal-creep) mass flow rate has been proposed on the basis of the variational analysis. In addition, new analytical expressions for the thermal slip parameters have been provided, in terms of the accommodation coefficients. Then, the theoretical results for the first- and second-order thermal slip coefficients have been compared with the experimental data for five noble gases (Helium, Neon, Argon, Krypton and Xenon).

Lo scopo di questa tesi è derivare soluzioni analitiche / semi-analitiche dell'equazione di Boltzmann linearizzata in microcanali. In particolare, il metodo variazionale proposto da Carlo Cercignani nel 1969 si è rivelato una tecnica particolarmente utile per scrivere semplici soluzioni approssimate in forma chiusa dell'equazione di Boltzmann al fine di utilizzarle nelle applicazioni. Poiché, fino ad ora, l'effetto dei gradienti termici sui dispositivi microelettromeccanici (MEMS) non è stato ampiamente studiato, in questa tesi vengono analizzati i flussi di gas dovuti a gradienti di temperatura (creep termico) nell'intero intervallo di variabilita' del numero di Knudsen (definito come il rapporto tra il libero cammino medio delle molecole e una lunghezza caratteristica del sistema). Il metodo variazionale e' stato applicato direttamente alla forma integrodifferenziale dell'equazione di Boltzmann, dove l'operatore collisionale e' stato espresso inizialmente sulla base di un modello cinetico semplificato, il modello Bhatnagar, Gross e Krook (BGK) e successivamente utilizzando l'operatore collisionale vero per molecole modellizzate come sfere rigide. Per descrivere le interazioni gas-superficie solida, sono state utilizzate sia le condizioni al contorno di Maxwell sia quelle espresse dal modello Cercignani-Lampis. Quando il livello di rarefazione non e' molto elevato, il flusso di gas può ancora essere simulato sulla base delle equazioni del continuo come quelle di Navier-Stokes-Fourier. Tuttavia, l'implementazione di condizioni al contorno particolari è necessaria per tenere conto degli effetti di rarefazione. Queste condizioni coinvolgono i coefficienti di slip termico che dipendono dall'interazione gas-superficie solida attraverso i coefficienti di accomodamento. Sulla base dell'analisi variazionale è stato proposto un modello del secondo ordine per il flusso di massa del gas determinato dalla temperatura. Inoltre, sono state fornite nuove espressioni analitiche per i parametri di slip termico, in termini dei coefficienti di accomodamento. I risultati teorici per i coefficienti di slip termico del primo e del secondo ordine sono stati confrontati con i dati sperimentali per cinque gas nobili (Elio, Neon, Argon, Krypton e Xeno).