Il gradiente analitico nel modello Heston++ e il suo utilizzo nella calibrazione consistente con le opzioni VIX

This thesis presents an algorithm for the accurate and efficient calibration of the stochastic volatility models Heston and Heston++, consistent with the implied volatility surfaces of two different markets, namely vanilla options written on SPX index and options written on VIX index. The algorithm is based on the formulation of calibration as a non-linear least squares problem, and exploits the analytical gradient of the option prices of the two models. A formal expression of the Heston++ model is proposed, and its correctness has been veryfied both analitically and numerically. The performances of the algorithm, which is based on Levenberg-Marquardt method, show that the calibration of Heston++ model is achieved without any additional computational costs with respect to the traditional Heston model. The proposed algorithm succeeds in finding the optimal parameters of both models in 100% of the simulations; the speed and the robustness of the method make it suitable for practical trading. The calibration of market prices points out how the introduction of a deterministic shift in the volatility process guarantees a more accurate estimate of the two different implied volatility surfaces; in particular, the mean relative error on VIX prices is significantly reduced.

La tesi presenta un algoritmo per la calibrazione accurata ed efficiente dei modelli di volatilità stocastica Heston e Heston++, consistente con le superfici di volatilità implicita di due mercati differenti, le opzioni dell'indice SPX e dell'indice VIX. L'algoritmo si basa sulla formulazione della calibrazione come un problema ai minimi quadrati non lineare, e utilizza il gradiente analitico dei prezzi delle opzioni dei due mercati. Viene proposta un'espressione formale del gradiente dei prezzi delle opzioni VIX e SPX secondo il modello Heston++, la cui correttezza è stata verificata sia analiticamente che numericamente. Le performance dell'algoritmo, basato sul metodo Levenberg-Marquardt, mostrano come la calibrazione del modello Heston++ non richieda un costo computazionale aggiuntivo rispetto al modello Heston. Nelle simulazioni effettuate, si riesce a trovare con successo i parametri ottimi dei modelli nel 100% dei casi; la velocità e la robustezza dell'algoritmo lo rendono adatto a un utilizzo su larga scala. La calibrazione dei prezzi di mercato evidenzia come l'aggiunta di uno shift deterministico sulla volatilità garantisca una stima più accurata delle due superfici di volatilità, in particolare riducendo notevolmente l'errore relativo medio delle opzioni VIX.