Simulation of generalized SABR models based on Markov chains approximations

The Monte Carlo simulation method represents one of the most famous methodologies for pricing derivatives. Simulation techniques based on time-discretization present some well-known problems such as the slow convergence and the difficulty of handling boundary conditions, the Euler method is the main example. The aim of this thesis is to study two Monte Carlo algorithms proposed by Cui, Kirkby and Nguyen: one for pricing European derivatives and the other to evaluate exotic options when the evolution of the underlying process is described by a stochastic local volatility model belonging to the GSABR model family. The simulation algorithms are based on the spatial-discretization of the variance process through approximation with a continuous time Markov chain. The strengths of this technique will be highlighted by supporting the analysis with several numerical applications. Subsequently, an additional dimension will be introduced in the model, represented by the stochastic interest rate. The two previous Monte Carlo algorithms will be extended by approximating both the variance and the interest rate process with a continuous time Markov chain. Finally, they will be tested on the Heston-CIR and the Heston-Vasicek hybrid models.

Il metodo delle simulazioni di Monte Carlo rappresenta una delle principali metodologie per prezzare derivati. Le tecniche di simulazione basate sulla discretizzazione temporale presentano alcuni noti problemi quali la lenta convergenza e la difficoltà di gestire le condizioni al bordo, il metodo di Eulero ne è l'esempio principale. Questa tesi ha l'obiettivo di studiare due algoritmi di Monte Carlo proposti da Cui, Kirkby e Nguyen: uno per prezzare derivati Europei e l'altro per valutare opzioni esotiche, quando l'evoluzione del processo sottostante è descritta da un modello a volatilità locale stocastica appartenente alla famiglia dei modelli GSABR. Gli algoritmi di simulazione si basano sulla discretizzazione spaziale del processo varianza tramite approssimazione con una catena di Markov a tempo continuo. Verranno evidenziati i punti di forza di questa tecnica supportando l'analisi con molteplici applicazioni numeriche. Successivamente, verrà introdotta nel modello una dimensione aggiuntiva, rappresentata dal tasso di interesse stocastico. I due precedenti algoritmi di Monte Carlo verranno estesi, approssimando sia il processo varianza che il tasso di interesse con una catena di Markov a tempo continuo. Infine, essi saranno testati sui modelli ibridi Heston-CIR ed Heston-Vasicek.