Polygonal discontinuous Galerkin methods for the problem of Darcy's flow in porous media with complex fracture networks

The purpose of this work is to study, validate and benchmark the application of the discontinuous Galerkin method on polygonal grids (PolyDG) to the problem of Darcy's flow in a porous medium with networks of intersecting fractures. The main reasons to use a PolyDG approach are the high flexibility of the method in handling complex fracture geometries, the possibility of supporting the use of arbitrary polygonal meshes with an unbounded number of faces and/or degenerating face measures with respect to the measure of the element they belong to, and the high-order accuracy locally reachable by varying the element-wise polynomial approximation degree and/or the local mesh size. Moreover, the method naturally allows to impose physically consistent coupling conditions between the porous region and the fractures and between the intersecting fractures through suitably defined trace operators. We implement a MATLAB library that is able to handle general fracture-conforming meshes of non-convex arbitrary polygons, with hanging nodes, and perform a wide variety of tests, both to validate the method on manufactured test cases and to compare it with other established discretizations on more complex configurations stemming from real test cases.

Lo scopo di questo lavoro è quello di studiare, validare e confrontare l'applicazione del metodo di Galerkin discontinuo su griglie poligonali (PolyDG) al problema del flusso di Darcy in un mezzo poroso con network di fratture. Le principali ragioni per utilizzare il metodo PolyDG risiedono nella sua elevata flessibilità nel trattare geometrie di fratture complesse, nella possibilità di supportare l'uso di mesh poligonali arbitrarie con un numero illimitato di facce e/o facce con misure che degenerano rispetto alla misura dell'elemento a cui appartengono, e nella elevata accuratezza raggiungibile localmente variando il grado di approssimazione polinomiale e/o la dimensione locale della mesh. Inoltre, il metodo permette di imporre naturalmente condizioni di accoppiamento, fisicamente consistenti, tra il mezzo poroso e le fratture, e tra fratture intersecanti, attraverso opportuni operatori di traccia. In questo progetto di Tesi implementiamo una libreria MATLAB in grado di trattare griglie conformi alle fratture, composte di poligoni arbitrari, non necessariamente convessi e con hanging nodes, ed eseguiamo un'ampia varietà di test sia per validare il metodo su casi test manufatti, che per compararlo con altri metodi di discretizzazione su configurazioni più complesse derivanti da casi test reali.