A high-order discontinuous Galerkin approach to the nonlinear elasto-acoustic problem

The aim of this thesis is to tackle the physical phenomenon of propagation of non- linear acoustic waves through visco-elastic materials, making use of a finite element discontinuous Galerkin method on polygonal meshes. Specifically, the wave propa- gation is modelled by Wetservelt’s nonlinear wave equation in the acoustic domain and the deformation of a visco-elastic medium is modelled by the (linear) elasto- dynamics equations. The coupling nature of the problem is defined by suitable transmissions conditions imposed at the interface between the solid (elastic) and fluid (acoustic) domains. Difficulties lie in handling the nonlinearity in the acoustic domain: for that, the idea is to rely on the Banach fixed-point theorem combined with a stability and convergence analysis of a linear wave equation with a variable coefficient in front of the second time derivative. As a consequence, a priori estimates are obtained for the solution of the coupled problem in a suitable energy norm. A numerical implementation is achieved through the software Matlab and a wide set of numerical results obtained on test cases with manufactured solutions are presented in order to validate the error analysis. Numerical experiments are also presented by dealing with different scenarios, meshes and interfaces to demonstrate in practice the capabilities of the proposed formulation.

Lo scopo di questa tesi è di affrontare il fenomeno fisico della propagazione di onde acustiche non lineari attraverso materiali viscoelastici, utilizzando un metodo di Galerkin discontinuo agli elementi finiti su mesh poligonali. Nello specifico, la propagazione delle onde è modellizzata dall’equazione delle onde non lineari di Westervelt nel dominio acustico e la deformazione di un mezzo visco-elastico è model- lizzata dalle equazioni (lineari) dell’elasto-dinamica. L’accoppiamento del problema è definito da opportune condizioni di trasmissione imposte all’interfaccia tra i domini solido (elastico) e fluido (acustico). Le difficoltà risiedono nell’avere la non linearità nel dominio acustico: per questo l’idea è di basarsi sul terorema di punto fisso di Banach combinato con un’analisi di stabilità e convergenza di un’equazione d’onda lineare con un coefficiente variabile davanti alla derivata seconda in tempo. Di conseguenza, si ottengono stime a priori per la soluzione del problema accoppiato in un’opportuna norma energia. È stata definita un’implementazione numerica tramite il software Matlab e viene presentato un ampio set di risultati numerici ottenuti su casi di test con soluzioni analitiche al fine di convalidare l’analisi degli errori. Vengono presentati anche esperimenti numerici per trattare diversi scenari, mesh e interfacce per dimostrare nella pratica le capacità della formulazione proposta.