Pricing di opzioni americane multidimensionali attraverso metodi di machine learning

In this thesis are presented two innovative methods for the multidimensional American options pricing, proposed by (Goudenège et al.,2019) and (Goudenège et al., 2020). These two methods, called GPR Monte Carlo and GPR Tree, combine standard pricing techniques, such as the Monte Carlo and the Tree algorithms, with machine learning techiniques, in particular with GPR (Gaussian Process Regression) methods. The two algorithms approximate the American option with a Bermuda option and, using a background approach, they compute the option value. For each time step the option value is computes as the maximum between the exercise value and the continuation value, approximated via GPR methods. The main difference between the two proposed algorithms lies in the method used to simulate the future dynamic of the underlyings: GPR Monte Carlo makes use of the Monte Carlo algorithm, while GPR Tree makes use of the trees algorithms. Both the two algorithms have been implemented assuming that the underlyings follow a Black-Scholes dynamic. Moreover the GPR Tree has been implemented also for underlying following the dynamic described by the rough Bergomi model, a non-Markovian model with stochastic volatility. The numerical results show that the two algorithms are quite accurate, even with a large dimension of the underlyings.

In questa tesi sono presentati due metodi innovativi per il calcolo del prezzo di opzioni americane con sottostanti multidimesionali, proposti da (Goudenège et al.,2019) e (Goudenège et al., 2020). Questi due metodi, chiamati GPR Monte Carlo e GPR Tree, combinano le tecniche classiche di Monte Carlo e degli algoritmi ad albero con tecniche di machine learning, nello specifico con i metodi GPR (Gaussian Process Regression). I due algoritmi approssimano l’opzione americana con un’opzione Bermuda e, attraverso un approccio backward, calcolano il valore dell’opzione nel tempo. Ad ogni istante temporale il valore dell’opzione è calcolato come il massimo tra il valore d’esercizio e il valore della stessa se non esercitata, approssimato attraverso i metodi GPR. La differenza principale tra i due algoritmi proposti è il metodo utilizzato per simulare l’andamento futuro dei sottostanti: GPR Monte Carlo si serve dell’algoritmo di Monte Carlo, mentre GPR Tree degli algoritmi ad albero. Gli algoritmi sono stati entrambi implementati assumendo che i sottostanti seguano la dinamica descritta dal modello Black-Scholes, inoltre l’algoritmo GPR-Tree è stato implementato anche per sottostanti che seguono la dinamica del modello rough Bergomi, un modello non Markoviano, con una volatilità stocastica. I risultati numerici presentati nella parte finale dell’elaborato dimostrano che i due metodi proposti sono in grado di fornire stime piuttosto accurate del prezzo, anche per opzioni che presentano un elevato numero di sottostanti.