Optimal consumption-portfolio-leisure policy in retirement-bankruptcy time problem with power utility function

In this thesis, we study the optimal stopping times problem in which an agent maximizes the total expected discounted utility, which is described by a power function and arose from consumption and leisure, over an infinite time horizon. The agent optimally decides the consumption, portfolio and leisure process, the three control variables of the considering optimization model. The wealth process, involving the debt repayment, consumption, investment and labour income, is the unique state variable. The critical improvement of this work is to explicitly investigate the role of labour income on the bankruptcy option and the optimization involving both the retirement mechanism and bankruptcy mechanism. The main methodology used here is the dual method from Karatzas and Wang (2000) and He and Pagès (1993). Specially, combing the budget and liquidity constraints, we can deduce the individual’s shadow price problem by means of the Legendre Fenchel transform. Then we construct the duality between the optimal stopping times problem and the shadow price problem, which finally results in a system of variational inequalities for obtaining the closed form solutions. The development of the thesis consists of four parts: 1. The review of Merton Problem. 2. The optimal consumption-portfolio-leisure policy in retirement problem. 3. The optimal consumption-portfolio-leisure policy in bankruptcy problem. 4. The optimal consumption-portfolio-leisure policy in retirement-bankruptcy problem. The single stopping time problem displayed in the first three chapters are the foundations of the last multiple stopping times problems, which involves the novelty of the thesis. At the end of the theoretical models, we conduct the numerical analysis to show the sensitivity in terms of some key parameters. In the optimal retirement part, we impose the different liquidity constraints over different time spans and perform the sensitivity analysis to discover the effect of this kind of constraint compared to the current literature. In Chapter 3, we investigate the effect of introducing the leisure as a new control variable into the optimal bankruptcy problem and discover the sensitivity of the wealth boundary to the cost and profit of declaring bankruptcy. In the last multiple stopping times problem, the order of the considered two stopping times is predetermined. Therefore, we have two independent optimization problems: One is the problem with retirement before bankruptcy, and the other is the problem with bankruptcy with retirement. Then, by conducting the comparison analysis, we discover the condition under which declaring bankruptcy before retirement is a priori better than the opposite, and the conditions for the reverse situation.

In questa tesi viene studiato il problema di arresto ottimo nel caso in cui un agente massimizza la sua utilità attesa. Tale utilità è descritta da una funzione potenza e deriva dal consumo e dal tempo libero. L'agente decide in modo ottimale il consumo, il portafoglio e come allocare il suo tempo. Il processo della ricchezza, che coinvolge il rimborso di un debito, il consumo, gli investimenti e il reddito da lavoro, è l'unica variabile di stato. Il contributo di questo lavoro di tesi è quello di indagare esplicitamente il ruolo del reddito da lavoro sull'opzione di fallimento e l'ottimizzazione che coinvolge sia il meccanismo di pensionamento che il meccanismo di fallimento. La metodologia principale qui utilizzata è il metodo duale di Karatzas e Wang (2000) e He e Pagès (1993). In particolare, combinando i vincoli di budget e liquidità, possiamo dedurre lo shadow problem dell'individuo mediante la trasformata di Legendre-Fenchel. Quindi costruiamo la dualità tra il problema dei tempi di arresto ottimali e lo shadow problem, che alla fine risulta in un sistema di disequazioni variazionali per ottenere le soluzioni in forma chiusa. Lo sviluppo della tesi si compone di quattro parti: 1. La presentazione del classico problema di Merton. 2. La politica ottimale del consumo-portafoglio-tempo libero nel problema di ritiro ottimo dal mondo del lavoro. 3. La politica dell’allocazione del tempo libero ottimale, degli investimenti e dei consumi nel problema della scelta del momento ottimo di fallimento. 4. La politica di consumo ottimale del portafoglio-tempo libero nel problema che accoppia il ritiro e il fallimento. Il problema dei tempi di arresto singolo mostrati nel secondo e terzo capitoli sono le fondamenta degli ultimi problemi di tempi di arresto multipli, uno dei contributi della tesi. Al termine dello studio dei modelli teorici, conduciamo l'analisi numerica per mostrare la sensibilità a alcuni parametri chiave. Nella parte del pensionamento ottimale, imponiamo i diversi vincoli di liquidità su diversi intervalli di tempo ed eseguiamo l'analisi di sensitività per scoprire l'effetto di questo tipo di vincolo rispetto alla letteratura corrente. Nel Capitolo 3, indaghiamo l'effetto dell'introduzione del tempo libero come nuova variabile di controllo nel problema del fallimento ottimo e scopriamo la sensibilità del confine della ricchezza al costo e al profitto della dichiarazione di fallimento. Nell'ultimo problema di tempi di arresto multipli, l'ordine dei due tempi di arresto considerati è predeterminato. Pertanto, abbiamo due problemi di ottimizzazione indipendenti: uno è il problema del pensionamento prima del fallimento e l'altro è il problema del fallimento con il pensionamento. Quindi, conducendo l'analisi comparativa, scopriamo la condizione in cui dichiarare il fallimento prima del pensionamento è a priori migliore del caso contrario e le condizioni per cui si verifichi la situazione inversa.