Simulation and design of kinetic knot structures

Mathematical knots can be thought of as closed curves embedded in three-dimensional space. By endowing a mathematical knot with an energy functional that depends on its state, some notable configurations emerge in correspondence of (local) minima of the energy. We are interested in elastic knots made of spring wire that can bend, twist and stretch. The Russian architect Dmitri Kozlov built a physical prototype that exhibits two stable equilibria, approximating a spheroid and a hyperboloid: our aim is to simulate these two states and the transformation that links them. To achieve this goal, we use the Discrete Elastic Rod (DER) model, known to accurately describe bending, twisting, and stretching deformations. Since DER does not handle self-collisions and allows the simulated knots to untie non-physically, we formulate a novel model for sliding self-contacts. After efficiently detecting self-collisions, we generate pairs of sliding nodes parametrized by convective variables in the material domain. To control self-penetration, we define a penalty energy that depends on the relative distance between the pairs of nodes. Two different contact models are presented, one that neglects the thickness of the wire and another that depends on the radius of its circular cross-section. To guarantee continuity of the energy functional in this second case, we implement a C1-smoothing of the otherwise piecewise linear centerline. We discuss the quality of our approach both in terms of faithful reproduction of test cases from the elastic knots literature, and in terms of computational efficiency. We demonstrate how the introduction of sliding self-contacts in the DER framework allows simulating the complex transformation of Kozlov’s knot. We then infer that our model can also be used as a design tool, to predict the behavior of generic knot prototypes made of elastic material.

Un nodo in accezione matematica può essere immaginato come una curva chiusa immersa nello spazio tridimensionale. Definendo un funzionale energia che dipende dalla configurazione del nodo, è possibile studiarne stati notevoli che corrispondono a minimi (locali) di tale funzionale. Siamo interessati a nodi elastici, fisicamente costruiti con sottili cavi di acciaio che possono essere piegati, torti e allungati. L’architetto russo Dmitri Kozlov ha realizzato un prototipo di questo tipo, caratterizzato da due stati di equilibrio che approssimano uno sferoide e un iperboloide: mostriamo come simulare queste configurazioni e la trasformazione continua che le collega. Per raggiungere questo obiettivo, usiamo il modello Discrete Elastic Rod (DER), noto per descrivere correttamente curvatura, torsione e allungamento. Poiché DER non tratta le collisioni e, quindi, permette alla struttura simulata di disfarsi irrealisticamente, formuliamo un nuovo modello per auto-contatti scorrevoli. Per ogni collisione rilevata, generiamo una coppia di nodi scorrevoli parametrizzati da variabili convettive definite nel dominio materiale. Per controllare le penetrazioni, definiamo una forza di penalizzazione dipendente dalla distanza relativa tra i due nodi. Presentiamo due modelli di contatto differenti: il primo non considera lo spessore del cavo, il secondo coinvolge il raggio della sezione circolare nella formulazione. Per garantire la continuità del funzionale energia nel secondo modello, introduciamo uno smoothing C1 dell’asse altrimenti definito come lineare a tratti. Verifichiamo la qualità del nostro approccio sia in termini di fedeltà nel riprodurre nodi elastici da casi di letteratura, sia per quanto riguarda l’efficienza computazionale. Dimostriamo come l’introduzione di auto-contatti scorrevoli nel modello DER permetta di simulare la complessa trasformazione del nodo di Kozlov. Ne deduciamo che il nostro modello possa essere utilizzato per il design e la previsione del comportamento di strutture costruite con cavi elastici che presentino auto-contatti.