Self-organization and pattern formation in soft matter

This thesis deals with the formulation and analysis of mathematical models for soft biological matter. More precisely, it focuses on two main aspects: self-organization and pattern formation. Self-organization is a well-studied phenomenon in different forms. In this thesis, we characterize this aspect studying the equilibrium configurations of an agglomerate of soap bubbles to mimic the phenomenon of the cell mitosis in the embryo as well as extending recent results of so-called Kirchhoff-Plateau problem, in which the fixed boundary is replaced by an elastic rod and it represents a prototype of a membrane problem. Pattern formation characterizes many aspects in nature: in this thesis we focus on describing growth and remodeling in living matter. First, we study the gyrification process, i.e. the formation of folded structures in brain organoids equipping a nonlinear elastic model with tissue surface tension and thanks to the competition between the elastic energy and the surface one, we correctly capture the experimental behavior of brain organoids. Second, we deal with the c-looping process in the heart tube, which is the first-symmetry breaking in cardiac embryogenesis and we show that a torsional internal remodeling alone can drive the spontaneous onset and the fully nonlinear development of the c-looping within its physiological range of geometrical parameters. Third, we characterize the onset of Faraday waves in soft elastic solids proving that standing waves at the free surface can appear also in soft matter. Remarkably, we find that Faraday instability in soft slabs is characterized by a harmonic resonance in the physical range of the material parameters, and, thanks to a collaboration with the Mechanical Department at the Clemson University, we are able to develop an experimental procedure to distinguish solid-like from fluid-like responses of soft matter. Finally, we propose a mathematical description of cancer development involving the growth process of fluid-like tumor cells surrounded by a porous medium. We include an additional source term to the classical porous-media equation to model the cell division rate. In order to introduce a free-boundary model, which gives more realistic description of tumor growth, we extend the Aronson-Bènilan estimate on second order derivatives for the solution of the porous media equation for different fields of pressure and in all Lebesgue spaces.

Questa tesi si occupa della formulazione e dell'analisi di modelli matematici per la materia biologica. Più precisamente, si concentra su due suoi aspetti principali: auto-organizzazione e formazione di pattern. L'auto-organizzazione è un fenomeno ben studiato in diverse sue forme. In questa tesi, caratterizziamo questo aspetto studiando le configurazioni di equilibrio di un agglomerato di bolle di sapone per imitare il fenomeno della mitosi cellulare nell'embrione nonché estendendo recenti risultati del cosiddetto problema di Kirchhoff-Plateau, in cui il bordo fisso è sostituito da una trave elastica e rappresenta un prototipo per la rappresentazione di membrane. La formazione di pattern caratterizza molti aspetti della natura: in questa tesi ci concentriamo sulla descrizione dei fenomeni di crescita e di rimodellamento nella materia vivente. Per prima cosa studiamo il processo di girificazione, cioè la formazione delle cosiddette rughe cerebrali negli organoidi aggiungendo ad un modello elastico non lineare la componente della tensione superficiale, e in questo modo, grazie alla competizione tra l'energia elastica e quella di superficie, rappresentiamo in maniera corretta il comportamento sperimentale degli organoidi. In secondo luogo, ci occupiamo del processo di c-looping nel tubo cardiaco, che rappresenta la prima rottura di simmetria nell'embriogenesi cardiaca e mostriamo che un rimodellamento interno da solo può guidare l'insorgenza spontanea e lo sviluppo non lineare del c-looping nell'intervallo fisiologico dei parametri geometrici. In terzo luogo, caratterizziamo lo sviluppo delle onde di Faraday nei solidi elastici soffici dimostrando che le onde stazionarie sulla superficie libera possono presentarsi anche in tali materiali. In più, troviamo che l’instabilità di Faraday nei solidi soffici è caratterizzata da una risonanza di tipo armonico e, grazie alla collaborazione con il Dipartimento di Meccanica della Clemson University, siamo in grado di sviluppare una robusta procedura spe rimentiale per distinguere una risposta di un solido da quella di un fluido viscoso. Infine, proponiamo una descrizione matematica dello sviluppo del cancro che coinvolge il processo di crescita di cellule tumorali modellizzate come fluidi che evolvono in un mezzo poroso ed includiamo un termine sorgente aggiuntivo alla classica equazione dei mezzi porosi per descrivere il tasso di divisione cellulare. Al fine di introdurre un modello che caratterizza il moto del bordo del tumore e che è di fatto una descrizione più realistica della crescita tumorale, estendiamo la stima di Aronson-Bènilan sulle derivate parziali del secondo ordine per la soluzione dell'equazione dei mezzi porosi, ottenendola per diversi campi di pressione e in tutti gli spazi di Lebesgue.