Acoustic cloak design through microstructure PDE-constrained optimization

Acoustic phenomena in fluids are governed by the Helmholtz wave equation, which is a complex-valued Partial Differential Equation (PDE); in particular, the Helmholtz equation for inhomogeneous fluids is essential for designing an acoustic cloak: a device that preclude sonar localization of an object by modifying the surrounding fluid properties, i.e. mass density and bulk modulus. The problem of defining the values of such properties is a complex task because on one hand analytical solutions exist for simple geometries only; on the other hand, they usually require materials that are difficult to realize. The purpose of this thesis is to introduce a novel technique for designing acoustic cloaks made of metamaterials through the solution of a PDE-constrained Optimal Control Problem (OCP). In particular, in this work a solution for the cloaking problem regardless of the obstacle shape and the incident pressure wave is found by means of an optimization method. Moreover, realization constraints are taken into account for maintaining the solution optimality even when the cloak is manufactured. In fact, the discrete metamaterial nature is encoded in the OCP itself; in this way, a discrete problem is solved and no approximation is needed for the cloak realization. Another common problem when designing a cloak comes from the fact that a metamaterial achieves a limited set of properties. Hence, such a feasible set is derived by studying a novel parametric family of unit cells using the Floquet-Bloch theory. Then, ad hoc constraints are added to the OCP for imposing that the cloak properties belong to that feasible set. In these regards, the infinite dimensional OCP is solved using the formal Lagrangian method that permits to compute the exact gradient of the cost functional. In such a way, the optimum problem is solved using a gradient-based algorithm; in particular, a Finite Element Method is written in Matlab using the redbKIT library. Finally, the complete cloak microstructure is defined and verified using the software COMSOL Multiphysics.

I fenomeni acustici nei fluidi sono descritti dall'equazione delle onde di Helmholtz, un'Equazione alle Derivate Parziali (EDP) a valori complessi; in particolare, l'equazione di Helmholtz per fluidi disomogenei è essenziale per lo studio di un mantello acustico: un dispositivo che preclude la localizzazione di un oggetto tramite sonar modificando le proprietà del fluido che circondano l'oggetto stesso, cioè densità di massa e modulo di comprimibilità. Definire i valori che tali proprietà devono assumere è un problema complesso perché soluzioni analitiche esistono solo in caso di geometrie semplici e perché tipicamente sono richiesti materiali di difficile realizzazione. Lo scopo di questa tesi è quello di introdurre una tecnica innovativa per la progettazione di mantelli acustici fatti da metamateriali attraverso la soluzione di un Problema di Controllo Ottimo (PCO) vincolato da una EDP. In particolare, il problema di design del mantello è stato risolto per qualunque forma dell'oggetto e onda di pressione incidente. Inoltre, diversi vincoli di realizzazione sono stati presi in considerazione per mantenere l'ottimalità della soluzione anche quando il mantello viene prodotto; infatti, la natura discreta del metamateriale è stata codificata nel PCO stesso. Un altro problema comune per il design di un mantello viene dal fatto che un metamateriale riproduce un insieme limitato di proprietà. Per questo motivo, tale insieme è derivato studiando una nuova famiglia parametrica di celle unitarie applicando la teoria di Floquet-Bloch. Quindi, si sono aggiunti vincoli ad hoc al PCO per imporre che le proprietà del mantello appartengano a quell'insieme. A questi propostiti, si è risolto il PCO infinito-dimensionale usando il metodo formale dei moltiplicatori di Lagrange che permette di calcolare il gradiente esatto del funzionale costo. In questo modo, il problema di ottimo è risolto applicando un algoritmo basato sul metodo del gradiente; in particolare, è stato scritto un codice Matlab agli Elementi Finiti utilizzando la libreria redbKIT. Infine, l'intera microstruttura del mantello è stata definita e verificata attraverso il software COMSOL Multiphysics.