A Ptolemaic model for orbital conjunction analysis

In recent years, all nations have developed a space programme that has led them all, or will soon, to cross the threshold of the atmosphere. This process is mainly carried out through new missions for global internet coverage, modernisation of telecommunications, weather forecast, multiple scientific studies and even tourism missions. One of the main consequences of this positive technological progress is the overpopulation of the near-Earth space region, where it is cheaper to launch new missions and which is privileged for the above-mentioned purposes. This area can be defined as comprising all Low Earth Orbits missions approximately. However, the risk of such overcrowding is the higher probability of impacts between satellites, which would produce, as happened in the past, clouds of small, more or less uncontrollable fragments. Numerical filters for conjunction detection or Minimum Orbital Intersection Distance algo- rithms aim to predict possible orbital close encounters in order to avoid collision events. Given the massive volume of both orbiting missions and debris in the LEO region, these algorithms must be able to find such solutions as fast as possible. This thesis therefore aims to explore the possibility of using a simplified model for the representation of the Keplerian orbit, in order to understand the possibility of adopting it for the design of a filter to improve computational effi- ciency. This simplification of the orbit is inspired by the orbital model of Ptolemy (astronomer lived from about 100 AD to about 170 AD), who had conceived a model of the solar system (geocentric as it was believed at that time) based on the geometry of the deferents and epicy- cles. The inspiration for this thesis comes from an hypothesis put forward by T.H. Sweetser and M.A. Vincent, in their paper: ’The eccentric behaviour of nearly frozen orbits’ ([76]). The proposed filter, implemented in Matlab environment, was first tested under conditions of unperturbed motion, and then the impact of perturbations was assessed. During the course of the research, a numerical orbital propagator was also developed in Matlab, which could be adapted to the requirements of the thesis, mainly to test the influence of single perturbations on the newly developed orbital model. The conceived orbital filter, which has been named ’Ptole- maic Filter’, was finally tested on a set of 1 000 orbits, extracted from the SPACETRACK catalogue of TLEs, and its performance compared with that of one of the most efficient MOID searching algorithm available today: [22]; which has been combined with Perigee-Apogee used as a pre-filter ([28]). The main perturbation effect considered for these final evaluations is geopotential, up to the J2,2 contribution. One of the key results is the ability to efficiently eliminate a large number of orbit pairs in order to avoid in-depth MOID analysis, and the ca- pability to identify the correct MOIDs with performances comparable to those of the algorithm proposed by Gronchi.

Negli ultimi anni, tutte le nazioni più sviluppate hanno dato vita ad un programma spaziale che le ha portate tutte, o lo farà presto, a varcare la soglia dell’atmosfera. Questo processo si svolge principalmente attraverso nuove missioni per la copertura globale di internet, la mod- ernizzazione delle telecomunicazioni, le previsioni meteo, molteplici studi scientifici e persino missioni turistiche. Una delle principali conseguenze di questo se pur positivo progresso tec- nologico è la sovrappopolazione della regione di spazio vicino alla Terra, dove è più economico lanciare nuove missioni e che è privilegiata per gli scopi sopra menzionati. Quest’area può es- sere definita come comprendente approssimativamente tutte le missioni in orbite terrestri basse. Tuttavia, il rischio di tale sovraffollamento è la maggiore probabilità di impatti tra satelliti, che produrrebbero, come è accaduto in passato, nuvole di piccoli frammenti più o meno incontrol- labili. I filtri numerici per la rilevazione delle congiunzioni o gli algoritmi di Minimum Orbital In- tersection Distance mirano a prevedere possibili incontri orbitali ravvicinati per evitare eventi di collisione. Dato l’enorme volume di missioni orbitanti e detriti nella regione LEO, questi algoritmi devono essere in grado di trovare tali soluzioni il più velocemente possibile. Questa tesi si propone quindi di esplorare la possibilità di utilizzare un modello semplificato per la rappresentazione dell’orbita kepleriana, al fine di comprendere la possibilità di adottarlo per la progettazione di un filtro per migliorare l’efficienza computazionale. Questa semplificazione dell’orbita si ispira al modello orbitale di Tolomeo (astronomo vissuto dal 100 d.C. al 170 d.C. circa), che aveva concepito un modello del sistema solare (geocentrico come si credeva a quel tempo) basato sulla geometria dei deferenti e degli epicicli. L’ispirazione per questa tesi viene da un’ipotesi avanzata da T.H. Sweetser e M.A. Vincent, nel loro articolo: ’The eccentric be- haviour of nearly frozen orbits’ ([76]). Il filtro proposto, implementato in Matlab, è stato prima testato in condizioni di moto im- perturbato, e poi è stato valutato l’impatto delle perturbazioni. Nel corso della ricerca, è stato anche sviluppato un propagatore orbitale numerico sempre in Matlab, adattato ai requisiti della tesi, principalmente per testare l’influenza di singole perturbazioni sul modello orbitale appena sviluppato. Il filtro orbitale concepito, che è stato chiamato ’Ptolemaic Filter’, è stato infine testato su un set di 1 000 orbite, estratte dal catalogo SPACETRACK dei TLE, e le sue prestazioni sono state confrontate con quelle di uno dei più efficienti algoritmi di ricerca MOID oggi disponibili: [22]; che è stato combinato con il test Perigee-Apogee usato come pre- filtro ([28]). Il principale effetto di perturbazione considerato per queste valutazioni finali è il geopotenziale, fino alla contribuzione J2,2. Uno dei risultati chiave è la capacità di eliminare in modo efficiente un gran numero di coppie di orbite per evitare un’analisi approfondita dei MOID, e la possibilità di identificare i MOID corretti con prestazioni paragonabili a quelle dell’algoritmo proposto da Gronchi.