Parametric nonlinear hyper-reduction for imperfect structures using quadratic manifold lifting : a case study on a frequency divider

In the last decade, several Model Order Reduction techniques have been established to solve complex finite elements problems with lower computational times. These methods ranges from offline tensors computations to several hyper reduction techniques , some of which require negligible offline costs. New techniques also allow computation of imperfect or defected geometries, these methods are referred to as defected parametric reduced order model. Despite being efficient in performing optimization of several defects, they require extensive offline computation (tensor assemblies) if the geometry is complex. In this work, a cheaper method is developed for imperfect structure allowing to construct training vectors using ECSW using only the a linear simulation that is up-lifted to a defected quadratic manifold. This technique nullify tensors computations , allow cheap training set generation and reduces computational times especially for large and intricate cases. The defected hyper reduction is shown to be very effective , both in terms of accuracy and speed ups, for large systems. It requires simple implementation without the need of tensors formulation. A comparison of these techniques have been showed in the context on a beam structure and a Frequency Divider (FD). The latter being a device with cascading mechanical components, each of which is excited by the former one by means of parametric resonance (a nonlinear phenomenon). Different defects and defects amplitudes were tested on this device to allow a better understanding of its response whilst a manufacturing imperfection is present. The results showed that a small defect can lead to a deviation of the dividing frequency for which a malfunctioning of the device is seen. However, a defect in a subsequent component of the FD does not affect the preceding components and their cascade activation

Il Metodo degli Elementi Finiti (FEM) è lo strumento più utilizzato nel campo dell’ ingegneria del design. Consiste nel discretizzare un sistema e risolverne l’equazione del moto in ogni nodo per avere una risposta completa di un dato carico. Tuttavia, quando il sistema diventa grande e complesso, questi calcoli diventano ingombranti e richiedono tempo. Model Order Reduction ha risolto questo problema proiettando queste equazioni su una piccola base riducendo così il numero di incognite da n gradi di libertà a m che è la dimensione della base. Questi metodi possono essere classificati come approccio tensoriale e metodi di iperriduzione. Il primo calcola tensori offline (per la non linearità polinomiale) che consente un calcolo online più veloce. E quest’ultimo permette i calcoli su un minor numero di gradi di libertà, quindi diminuire la durata della simulazione. Ciò richiede vettori di addestramento che in precedenza necessitavano di una simulazione completa del modello, ma al giorno d’oggi nuovi metodi consentono di ottenere questi vettori di addestramento in modo economico utilizzando ECSW. Inoltre, gli ingegneri hanno iniziato ad ampliare il campo della riduzione e hanno cercato di includere imperfezioni nel modello. Ciò consentirà una notevole riduzione dei tempi di simulazione poiché il difetto può essere implementato come vettore esterno e le procedure di ottimizzazione potrebbero essere facilmente applicate. Questo è noto come modello di ordine ridotto dei difetti parametrici. Tuttavia, ha richiesto tempi di sospensione importanti per assemblare i tensori e non era semplice da implementare. Questo lavoro presenta un nuovo modo innovativo di fondere le tecniche di iperriduzione con la riduzione parametrica dei difetti. Consiste nel sollevare una soluzione lineare nominale su una varietà quadratica difettosa che descrive la geometria imperfetta, quindi usando ECSW, si potrebbero acquisire a buon mercato i vettori di addestramento necessari per l’iperriduzione. In questa ricerca, i metodi sopra discussi sono stati implementati e testati su una struttura a trave semplice regolare e su un divisore di frequenza (FD). Quest’ultimo è un dispositivo con componenti meccanici in cascata, ciascuno dei quali è attivato dal primo tramite risonanza parametrica (fenomeno non lineare).Quando è presente un difetto di fabbricazione, per consentire una migliore comprensione del risultato, vengono effettuati test sulle imperfezioni e le ampiezze degli stessi. Questo è tipico per i dispositivi MEMS in cui i difetti di fabbricazione sono sempre presenti e potrebbero influire sul funzionamento del dispositivo. I risultati hanno mostrato che un piccolo difetto può portare ad una deviazione della frequenza di divisione per cui si verifica un malfunzionamento del dispositivo. Tuttavia, un difetto in un componente successivo della FD non pregiudica i componenti precedenti e la loro attivazione a cascata.