Statistical analysis of roots of random polynomials

In this thesis, we compute the moments of simple roots of complex polynomials when the coefficients of the polynomial are affected by a zero mean, proper or improper, complex Gaussian noise. The problem is particularly interesting for statistical signal processing models, where roots are related to the parameters of interest and coefficients are obtained from noisy empirical measurements. The main advantage of the result of this thesis, with respect to current practices, is that it is not model specific, so it is flexible enough to be used in several different scenarios. Since the functional relationship between coefficients and roots is implicit, first and second order moments are derived thanks to a local Taylor approximation. The analytic expressions that we derive independently in this thesis can be considered an extension of a result by Vom Scheidt and Bharucha-Reid [42] for real roots of real polynomials. In the particular case of proper (or circular) covariance,we showthat, if some assumptions are met, the roots computed from a perturbed polynomial are an unbiased estimator for the exact roots. The analytic results are supported by a large number of numerical simulations and statistical tests of hypothesis, to which an entire chapter is dedicated.

Oggetto di studio di questa tesi di laurea è il calcolo dei momenti delle radici semplici di polinomi complessi quando i coefficienti sono perturbati da un rumore Gaussiano complesso, proprio o improprio, a media nulla. Il problema è di particolare interesse per alcuni modelli di elaborazione statistica dei segnali, in cui le radici sono collegate ai parametri che si intendono stimare e i coefficienti sono ottenuti da misurazioni rumorose. Il principale vantaggio del risulato esposto in questa tesi, rispetto agli strumenti maggiormente utilizzati, è che non dipende dal modello e che quindi può essere facilmente adattato ad applicazioni differenti. Siccome la relazione tra i coefficienti e le radici è definita implicitamente, i momenti di primo e secondo ordine sono derivati attraverso un’approssimazione in serie di Taylor troncata. Le espressioni analitiche derivate indipendentemente in questa tesi possono essere considerate un’estensione di un risultato ottenuto da Vom Scheidt e Bharucha-Reid [42] per radici reali di polinomi a coefficienti reali. Nel caso particolare di covarianza propria (o circolare), mostriamo che, date alcune ipotesi, le radici calcolate da un polinomio perturbato sono uno stimatore non distorto (unbiased) delle radici esatte. I risultati analitici sono supportati da un cospicuo numero di simulazioni numeriche e test statistici di verifica di ipotesi, a cui è dedicato un intero capitolo.